Maximum Subarray

描述

Find the contiguous subarray within an array (containing at least one number) which has the largest sum.

For example, given the array [−2,1,−3,4,−1,2,1,−5,4],the contiguous subarray [4,−1,2,1] has the largest sum = 6.

分析

最大连续子序列和，非常经典的题。

当我们从头到尾遍历这个数组的时候，对于数组里的一个整数，它有几种选择呢？它只有两种选择： 1、加入之前的SubArray；2. 自己另起一个SubArray。那什么时候会出现这两种情况呢？

如果之前SubArray的总体和大于0的话，我们认为其对后续结果是有贡献的。这种情况下我们选择加入之前的SubArray

如果之前SubArray的总体和为0或者小于0的话，我们认为其对后续结果是没有贡献，甚至是有害的（小于0时）。这种情况下我们选择以这个数字开始，另起一个SubArray。

设状态为f[j]，表示以S[j]结尾的最大连续子序列和，则状态转移方程如下：

f[j]=max{f[j−1]+S[j],S[j]},1≤j≤nf[j] = \max\left{f[j-1]+S[j],S[j]\right}, 1 \leq j \leq n

target=max{f[j]},1≤j≤ntarget = \max\left{f[j]\right}, 1 \leq j \leq n

解释如下：

  • 情况一，S[j]不独立，与前面的某些数组成一个连续子序列，则最大连续子序列和为f[j-1]+S[j]。

  • 情况二，S[j]独立划分成为一段，即连续子序列仅包含一个数S[j]，则最大连续子序列和为S[j]。
    其他思路：

  • 思路2：直接在i到j之间暴力枚举，复杂度是O(n^3)

  • 思路3：处理后枚举，连续子序列的和等于两个前缀和之差，复杂度O(n^2)。
  • 思路4：分治法，把序列分为两段，分别求最大连续子序列和，然后归并，复杂度O(nlog n)
  • 思路5：把思路2O(n^2)的代码稍作处理，得到O(n)的算法
  • 思路6：当成M=1的最大M子段和

    动规

  1. // Maximum Subarray
  2. // 时间复杂度O(n)，空间复杂度O(1)
  3. class Solution {
  4. public:
  5.     int maxSubArray(const vector<int>& nums) {
  6.         int maxLocal = nums[0];
  7.         int global = nums[0];
  8.         for (int i = 1; i < nums.size(); ++i) {
  9.             maxLocal = max(nums[i], nums[i] + maxLocal);
  10.             global = max(global, maxLocal);
  11.         }
  12.         return global;
  13.     }
  14. };

思路5

  1. // Maximum Subarray
  2. // 时间复杂度O(n)，空间复杂度O(n)
  3. class Solution {
  4. public:
  5.     int maxSubArray(vector<int>& A) {
  6.         return mcss(A.begin(), A.end());
  7.     }
  8. private:
  9.     // 思路5，求最大连续子序列和
  10.     template <typename Iter>
  11.     static int mcss(Iter begin, Iter end) {
  12.         int result, cur_min;
  13.         const int n = distance(begin, end);
  14.         int *sum = new int[n + 1];  // 前n项和
  16.         sum[0] = 0;
  17.         result = INT_MIN;
  18.         cur_min = sum[0];
  19.         for (int i = 1; i <= n; i++) {
  20.             sum[i] = sum[i - 1] + *(begin  + i - 1);
  21.         }
  22.         for (int i = 1; i <= n; i++) {
  23.             result = max(result, sum[i] - cur_min);
  24.             cur_min = min(cur_min, sum[i]);
  25.         }
  26.         delete[] sum;
  27.         return result;
  28.     }
  29. };

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原文: https://soulmachine.gitbooks.io/algorithm-essentials/content/cpp/dp/maximum-subarray.html