Climbing Stairs

描述

You are climbing a stair case. It takes n steps to reach to the top.

Each time you can either climb 1 or 2 steps. In how many distinct ways can you climb to the top?

分析

f(n)表示爬n阶楼梯的不同方法数,为了爬到第n阶楼梯,有两个选择:

  • 从第n-1阶前进1步;
  • 从第n-1阶前进2步;
    因此,有f(n)=f(n-1)+f(n-2)

这是一个斐波那契数列。

方法1,递归,太慢;方法2,迭代。

方法3,数学公式。斐波那契数列的通项公式为 an=15[(1+52)n(152)n]a_n=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n-\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n\right]

迭代

  1. // Climbing Stairs
  2. // 迭代,时间复杂度O(n),空间复杂度O(1)
  3. class Solution {
  4. public:
  5. int climbStairs(int n) {
  6. int prev = 0;
  7. int cur = 1;
  8. for(int i = 1; i <= n ; ++i){
  9. int tmp = cur;
  10. cur += prev;
  11. prev = tmp;
  12. }
  13. return cur;
  14. }
  15. };

数学公式

  1. // Climbing Stairs
  2. // 数学公式,时间复杂度O(1),空间复杂度O(1)
  3. class Solution {
  4. public:
  5. int climbStairs(int n) {
  6. const double s = sqrt(5);
  7. return floor((pow((1+s)/2, n+1) +
  8. pow((1-s)/2, n+1))/s + 0.5);
  9. }
  10. };

相关题目

原文: https://soulmachine.gitbooks.io/algorithm-essentials/content/cpp/linear-list/array/climbing-stairs.html