Climbing Stairs

描述

You are climbing a stair case. It takes n steps to reach to the top.

Each time you can either climb 1 or 2 steps. In how many distinct ways can you climb to the top?

分析

设f(n)表示爬n阶楼梯的不同方法数，为了爬到第n阶楼梯，有两个选择：

  • 从第n-1阶前进1步；
  • 从第n-1阶前进2步；
    因此，有f(n)=f(n-1)+f(n-2)。

这是一个斐波那契数列。

方法1，递归，太慢；方法2，迭代。

方法3，数学公式。斐波那契数列的通项公式为 an=15[(1+52)n−(1−52)n]a_n=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n-\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n\right]。

迭代

  1. // Climbing Stairs
  2. // 迭代，时间复杂度O(n)，空间复杂度O(1)
  3. class Solution {
  4. public:
  5.     int climbStairs(int n) {
  6.         int prev = 0;
  7.         int cur = 1;
  8.         for(int i = 1; i <= n ; ++i){
  9.             int tmp = cur;
  10.             cur += prev;
  11.             prev = tmp;
  12.         }
  13.         return cur;
  14.     }
  15. };

数学公式

  1. // Climbing Stairs
  2. // 数学公式，时间复杂度O(1)，空间复杂度O(1)
  3. class Solution {
  4.     public:
  5.     int climbStairs(int n) {
  6.         const double s = sqrt(5);
  7.         return floor((pow((1+s)/2, n+1) + 
  8.             pow((1-s)/2, n+1))/s + 0.5);
  9.     }
  10. };

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原文: https://soulmachine.gitbooks.io/algorithm-essentials/content/cpp/linear-list/array/climbing-stairs.html