N-Queens

描述

The n-queens puzzle is the problem of placing n queens on an n × n chessboard such that no two queens attack each other.

Eight Queens

Figure: Eight Queens

Given an integer n, return all distinct solutions to the n-queens puzzle.

Each solution contains a distinct board configuration of the n-queens' placement, where 'Q' and '.' both indicate a queen and an empty space respectively.

For example,There exist two distinct solutions to the 4-queens puzzle:

  1. [
  2.  [".Q..",  // Solution 1
  3.   "...Q",
  4.   "Q...",
  5.   "..Q."],
  7.  ["..Q.",  // Solution 2
  8.   "Q...",
  9.   "...Q",
  10.   ".Q.."]
  11. ]

分析

经典的深搜题。

设置一个数组 vector<int> C(n, 0), C[i] 表示第i行皇后所在的列编号，即在位置 (i, C[i])上放了一个皇后，这样用一个一维数组，就能记录整个棋盘。

代码1

  1. // N-Queens
  2. // 深搜+剪枝
  3. // 时间复杂度O(n!*n)，空间复杂度O(n)
  4. class Solution {
  5. public:
  6.     vector<vector<string> > solveNQueens(int n) {
  7.         vector<vector<string> > result;
  8.         vector<int> C(n, -1);  // C[i]表示第i行皇后所在的列编号
  9.         dfs(C, result, 0);
  10.         return result;
  11.     }
  12. private:
  13.     void dfs(vector<int> &C, vector<vector<string> > &result, int row) {
  14.         const int N = C.size();
  15.         if (row == N) { // 终止条件，也是收敛条件，意味着找到了一个可行解
  16.             vector<string> solution;
  17.             for (int i = 0; i < N; ++i) {
  18.                 string s(N, '.');
  19.                 for (int j = 0; j < N; ++j) {
  20.                     if (j == C[i]) s[j] = 'Q';
  21.                 }
  22.                 solution.push_back(s);
  23.             }
  24.             result.push_back(solution);
  25.             return;
  26.         }
  28.         for (int j = 0; j < N; ++j) {  // 扩展状态，一列一列的试
  29.             const bool ok = isValid(C, row, j);
  30.             if (!ok) continue;  // 剪枝，如果非法，继续尝试下一列
  31.             // 执行扩展动作
  32.             C[row] = j;
  33.             dfs(C, result, row + 1);
  34.             // 撤销动作
  35.             // C[row] = -1;
  36.         }
  37.     }
  39.     /**
  40.      * 能否在 (row, col) 位置放一个皇后.
  41.      *
  42.      * @param C 棋局
  43.      * @param row 当前正在处理的行，前面的行都已经放了皇后了
  44.      * @param col 当前列
  45.      * @return 能否放一个皇后
  46.      */
  47.     bool isValid(const vector<int> &C, int row, int col) {
  48.         for (int i = 0; i < row; ++i) {
  49.             // 在同一列
  50.             if (C[i] == col) return false;
  51.             // 在同一对角线上
  52.             if (abs(i - row) == abs(C[i] - col)) return false;
  53.         }
  54.         return true;
  55.     }
  56. };

代码2

  1. // N-Queens
  2. // 深搜+剪枝
  3. // 时间复杂度O(n!)，空间复杂度O(n)
  4. class Solution {
  5. public:
  6.     vector<vector<string> > solveNQueens(int n) {
  7.         this->columns = vector<bool>(n, false);
  8.         this->main_diag = vector<bool>(2 * n - 1, false);
  9.         this->anti_diag = vector<bool>(2 * n - 1, false);
  11.         vector<vector<string> > result;
  12.         vector<int> C(n, -1);  // C[i]表示第i行皇后所在的列编号
  13.         dfs(C, result, 0);
  14.         return result;
  15.     }
  16. private:
  17.     // 这三个变量用于剪枝
  18.     vector<bool> columns;  // 表示已经放置的皇后占据了哪些列
  19.     vector<bool> main_diag;  // 占据了哪些主对角线
  20.     vector<bool> anti_diag;  // 占据了哪些副对角线
  22.     void dfs(vector<int> &C, vector<vector<string> > &result, int row) {
  23.         const int N = C.size();
  24.         if (row == N) { // 终止条件，也是收敛条件，意味着找到了一个可行解
  25.             vector<string> solution;
  26.             for (int i = 0; i < N; ++i) {
  27.                 string s(N, '.');
  28.                 for (int j = 0; j < N; ++j) {
  29.                     if (j == C[i]) s[j] = 'Q';
  30.                 }
  31.                 solution.push_back(s);
  32.             }
  33.             result.push_back(solution);
  34.             return;
  35.         }
  37.         for (int j = 0; j < N; ++j) {  // 扩展状态，一列一列的试
  38.             const bool ok = !columns[j] && !main_diag[row - j + N - 1]  &&
  39.                     !anti_diag[row + j];
  40.             if (!ok) continue;  // 剪枝，如果非法，继续尝试下一列
  41.             // 执行扩展动作
  42.             C[row] = j;
  43.             columns[j] = main_diag[row - j + N - 1] = anti_diag[row + j] = true;
  44.             dfs(C, result, row + 1);
  45.             // 撤销动作
  46.             // C[row] = -1;
  47.             columns[j] = main_diag[row - j + N - 1] = anti_diag[row + j] = false;
  48.         }
  49.     }
  50. };

相关题目

原文: https://soulmachine.gitbooks.io/algorithm-essentials/content/cpp/dfs/n-queens.html