Word Ladder

Question

Problem Statement

Given two words (start and end), and a dictionary, find the length of
shortest transformation sequence from start to end, such that:

  1. Only one letter can be changed at a time
  2. Each intermediate word must exist in the dictionary

Example

Given:
start = "hit"
end = "cog"
dict = ["hot","dot","dog","lot","log"]

As one shortest transformation is "hit" -> "hot" -> "dot" -> "dog" -> "cog",
return its length 5.

Note

  • Return 0 if there is no such transformation sequence.
  • All words have the same length.
  • All words contain only lowercase alphabetic characters.

题解

咋一看还以为是 Edit Distance 的变体，仔细审题后发现和动态规划没啥关系。题中有两大关键点：一次只能改动一个字符；改动的中间结果必须出现在词典中。那么大概总结下来共有四种情形：

  1. start 和 end 相等。
  2. end 在 dict 中，且 start 可以转换为 dict 中的一个单词。
  3. end 不在 dict 中，但可由 start 或者 dict 中的一个单词转化而来。
  4. end 无法由 start 转化而来。

由于中间结果也必须出现在词典中，故此题相当于图搜索问题，将 start, end, dict 中的单词看做图中的节点，节点与节点（单词与单词）可通过一步转化得到，可以转换得到的节点相当于边的两个节点，边的权重为1（都是通过1步转化）。到这里问题就比较明确了，相当于搜索从 start 到 end 两点间的最短距离，即 Dijkstra 最短路径算法。通过 BFS 和哈希表实现。

首先将 start 入队，随后弹出该节点，比较其和 end 是否相同；再从 dict 中选出所有距离为1的单词入队，并将所有与当前节点距离为1且未访问过的节点（需要使用哈希表）入队，方便下一层遍历时使用，直至队列为空。

Java

  1. public class Solution {
  2.     /**
  3.       * @param start, a string
  4.       * @param end, a string
  5.       * @param dict, a set of string
  6.       * @return an integer
  7.       */
  8.     public int ladderLength(String start, String end, Set<String> dict) {
  9.         if (start == null && end == null) return 0;
  10.         if (start.length() == 0 && end.length() == 0) return 0;
  11.         assert(start.length() == end.length());
  12.         if (dict == null || dict.size() == 0) {
  13.             return 0;
  14.         }
  16.         int ladderLen = 1;
  17.         dict.add(end); // add end to dict, important!
  18.         Queue<String> q = new LinkedList<String>();
  19.         Set<String> hash = new HashSet<String>();
  20.         q.offer(start);
  21.         hash.add(start);
  22.         while (!q.isEmpty()) {
  23.             ladderLen++;
  24.             int qLen = q.size();
  25.             for (int i = 0; i < qLen; i++) {
  26.                 String strTemp = q.poll();
  28.                 for (String nextWord : getNextWords(strTemp, dict)) {
  29.                     if (nextWord.equals(end)) return ladderLen;
  30.                     // filter visited word in the dict
  31.                     if (hash.contains(nextWord)) continue;
  32.                     q.offer(nextWord);
  33.                     hash.add(nextWord);
  34.                 }
  35.             }
  36.         }
  38.         return 0;
  39.     }
  41.     private Set<String> getNextWords(String curr, Set<String> dict) {
  42.         Set<String> nextWords = new HashSet<String>();
  43.         for (int i = 0; i < curr.length(); i++) {
  44.             char[] chars = curr.toCharArray();
  45.             for (char c = 'a'; c <= 'z'; c++) {
  46.                 chars[i] = c;
  47.                 String temp = new String(chars);
  48.                 if (dict.contains(temp)) {
  49.                     nextWords.add(temp);
  50.                 }
  51.             }
  52.         }
  54.         return nextWords;
  55.     }
  56. }

源码分析

getNextWords的实现

首先分析给定单词curr并从 dict 中选出所有距离为1 的单词。常规的思路可能是将curr与 dict 中的单词逐个比较，并遍历每个字符串，返回距离为1的单词组。这种找距离为1的节点的方法复杂度为 l(length\ of\ word) \times n(size\ of\ dict)\times m(queue\ length) = O(lmn). 在 dict 较长时会 TLE. 其实根据 dict 的数据结构特点，比如查找任一元素的时间复杂度可认为是 O(1). 根据哈希表和单个单词长度通常不会太长这一特点，我们就可以根据给定单词构造到其距离为一的单词变体，然后查询其是否在 dict 中，这种实现的时间复杂度为 O(26(a\ to\ z) \times l \times m) = O(lm), 与 dict 长度没有太大关系，大大优化了时间复杂度。

经验教训：根据给定数据结构特征选用合适的实现，遇到哈希表时多用其查找的 O(1) 特性。

BFS 和哈希表的配合使用

BFS 用作搜索，哈希表用于记录已经访问节点。在可以改变输入数据的前提下，需要将 end 加入 dict 中，否则对于不在 dict 中出现的 end 会有问题。

复杂度分析

主要在于getNextWords方法的时间复杂度，时间复杂度 O(lmn)。使用了队列存储中间处理节点，空间复杂度平均条件下应该是常量级别，当然最坏条件下可能恶化为 O(n), 即 dict 中某个点与其他点距离均为1.

Reference