Median of two Sorted Arrays

Question

Problem Statement

There are two sorted arrays A and B of size m and n respectively. Find the median of the two sorted arrays.

Example

Given A=[1,2,3,4,5,6] and B=[2,3,4,5], the median is 3.5.

Given A=[1,2,3] and B=[4,5], the median is 3.

Challenge

The overall run time complexity should be O(log (m+n)).

题解1 - 归并排序

何谓”Median”? 由题目意思可得即为两个数组中一半数据比它大，另一半数据比它小的那个数。详见 中位数 - 维基百科，自由的百科全书。简单粗暴的方法就是使用归并排序的思想，挨个比较两个数组的值，取小的，最后分奇偶长度返回平均值或者中位值。

Java1 - merge sort with equal length

  1. class Solution {
  2.     /**
  3.      * @param A: An integer array.
  4.      * @param B: An integer array.
  5.      * @return: a double whose format is *.5 or *.0
  6.      */
  7.     public double findMedianSortedArrays(int[] A, int[] B) {
  8.         if ((A == null || A.length == 0) && (B == null || B.length == 0)) {
  9.             return -1.0;
  10.         }
  11.         int lenA = (A == null) ? 0 : A.length;
  12.         int lenB = (B == null) ? 0 : B.length;
  13.         int len = lenA + lenB;
  15.         /* merge sort */
  16.         int indexA = 0, indexB = 0, indexC = 0;
  17.         int[] C = new int[len];
  18.         // case1: both A and B have elements
  19.         while (indexA < lenA && indexB < lenB) {
  20.             if (A[indexA] < B[indexB]) {
  21.                 C[indexC++] = A[indexA++];
  22.             } else {
  23.                 C[indexC++] = B[indexB++];
  24.             }
  25.         }
  26.         // case2: only A has elements
  27.         while (indexA < lenA) {
  28.             C[indexC++] = A[indexA++];
  29.         }
  30.         // case3: only B has elements
  31.         while (indexB < lenB) {
  32.             C[indexC++] = B[indexB++];
  33.         }
  35.         // return median for even and odd cases
  36.         int indexM1 = (len - 1) / 2, indexM2 = len / 2;
  37.         if (len % 2 == 0) {
  38.             return (C[indexM1] + C[indexM2]) / 2.0;
  39.         } else {
  40.             return C[indexM2];
  41.         }
  42.     }
  43. }

Java2 - space optimization

  1. class Solution {
  2.     /**
  3.      * @param A: An integer array.
  4.      * @param B: An integer array.
  5.      * @return: a double whose format is *.5 or *.0
  6.      */
  7.     public double findMedianSortedArrays(int[] A, int[] B) {
  8.         if ((A == null || A.length == 0) && (B == null || B.length == 0)) {
  9.             return -1.0;
  10.         }
  11.         int lenA = (A == null) ? 0 : A.length;
  12.         int lenB = (B == null) ? 0 : B.length;
  13.         int len = lenA + lenB;
  14.         int indexM1 = (len - 1) / 2, indexM2 = len / 2;
  15.         int m1 = 0, m2 = 0;
  17.         /* merge sort */
  18.         int indexA = 0, indexB = 0, indexC = 0;
  19.         // case1: both A and B have elements
  20.         while (indexA < lenA && indexB < lenB) {
  21.             if (indexC > indexM2) {
  22.                 break;
  23.             }
  24.             if (indexC == indexM1) {
  25.                 m1 = Math.min(A[indexA], B[indexB]);
  26.             }
  27.             if (indexC == indexM2) {
  28.                 m2 = Math.min(A[indexA], B[indexB]);
  29.             }
  30.             if (A[indexA] < B[indexB]) {
  31.                 indexA++;
  32.             } else {
  33.                 indexB++;
  34.             }
  35.             indexC++;
  36.         }
  37.         // case2: only A has elements
  38.         while (indexA < lenA) {
  39.             if (indexC > indexM2) {
  40.                 break;
  41.             }
  42.             if (indexC == indexM1) {
  43.                 m1 = A[indexA];
  44.             }
  45.             if (indexC == indexM2) {
  46.                 m2 = A[indexA];
  47.             }
  48.             indexA++;
  49.             indexC++;
  50.         }
  51.         // case3: only B has elements
  52.         while (indexB < lenB) {
  53.             if (indexC > indexM2) {
  54.                 break;
  55.             }
  56.             if (indexC == indexM1) {
  57.                 m1 = B[indexB];
  58.             }
  59.             if (indexC == indexM2) {
  60.                 m2 = B[indexB];
  61.             }
  62.             indexB++;
  63.             indexC++;
  64.         }
  66.         // return median for even and odd cases
  67.         if (len % 2 == 0) {
  68.             return (m1 + m2) / 2.0;
  69.         } else {
  70.             return m2;
  71.         }
  72.     }
  73. }

源码分析

使用归并排序的思想做这道题不难，但是边界条件的处理比较闹心，使用归并排序带辅助空间的做法实现起来比较简单，代码也短。如果不使用额外空间并做一定优化的话需要多个 if 语句进行判断，需要注意的是多个 if 之间不能使用 else ，因为indexM1和indexM2有可能相等。

复杂度分析

时间复杂度 O(m + n), 空间复杂度为 (m + n)(使用额外数组), 或者 O(1)(不使用额外数组).

题解2 - 二分搜索

题中已有信息两个数组均为有序，找中位数的关键在于找到第一半大的数，显然可以使用二分搜索优化。本题是找中位数，其实可以泛化为一般的找第 k 大数，这个辅助方法的实现非常有意义！在两个数组中找第k大数->找中位数即为找第k大数的一个特殊情况——第(A.length + B.length) / 2 大数。因此首先需要解决找第k大数的问题。这个联想确实有点牵强…

由于是找第k大数(从1开始)，使用二分法则需要比较A[k/2 - 1]和B[k/2 - 1]，并思考这两个元素和第k大元素的关系。

  1. A[k/2 - 1] <= B[k/2 - 1] => A和B合并后的第k大数中必包含A[0]~A[k/2 -1]，可使用归并的思想去理解。
  2. 若k/2 - 1超出A的长度，则必取B[0]~B[k/2 - 1]

C++

  1. class Solution {
  2. public:
  3.     /**
  4.      * @param A: An integer array.
  5.      * @param B: An integer array.
  6.      * @return: a double whose format is *.5 or *.0
  7.      */
  8.     double findMedianSortedArrays(vector<int> A, vector<int> B) {
  9.         if (A.empty() && B.empty()) {
  10.             return 0;
  11.         }
  13.         vector<int> NonEmpty;
  14.         if (A.empty()) {
  15.             NonEmpty = B;
  16.         }
  17.         if (B.empty()) {
  18.             NonEmpty = A;
  19.         }
  20.         if (!NonEmpty.empty()) {
  21.             vector<int>::size_type len_vec = NonEmpty.size();
  22.             return len_vec % 2 == 0 ?
  23.                     (NonEmpty[len_vec / 2 - 1] + NonEmpty[len_vec / 2]) / 2.0 :
  24.                     NonEmpty[len_vec / 2];
  25.         }
  27.         vector<int>::size_type len = A.size() + B.size();
  28.         if (len % 2 == 0) {
  29.             return ((findKth(A, 0, B, 0, len / 2) + findKth(A, 0, B, 0, len / 2 + 1)) / 2.0);
  30.         } else {
  31.             return findKth(A, 0, B, 0, len / 2 + 1);
  32.         }
  33.         // write your code here
  34.     }
  36. private:
  37.     int findKth(vector<int> &A, vector<int>::size_type A_start, vector<int> &B, vector<int>::size_type B_start, int k) {
  38.         if (A_start > A.size() - 1) {
  39.             // all of the element of A are smaller than the kTh number
  40.             return B[B_start + k - 1];
  41.         }
  42.         if (B_start > B.size() - 1) {
  43.             // all of the element of B are smaller than the kTh number
  44.             return A[A_start + k - 1];
  45.         }
  47.         if (k == 1) {
  48.             return A[A_start] < B[B_start] ? A[A_start] : B[B_start];
  49.         }
  51.         int A_key = A_start + k / 2 - 1 < A.size() ?
  52.                     A[A_start + k / 2 - 1] : INT_MAX;
  53.         int B_key = B_start + k / 2 - 1 < B.size() ?
  54.                     B[B_start + k / 2 - 1] : INT_MAX;
  56.         if (A_key > B_key) {
  57.             return findKth(A, A_start, B, B_start + k / 2, k - k / 2);
  58.         } else {
  59.             return findKth(A, A_start + k / 2, B, B_start, k - k / 2);
  60.         }
  61.     }
  62. };

Java

  1. class Solution {
  2.     /**
  3.      * @param A: An integer array.
  4.      * @param B: An integer array.
  5.      * @return: a double whose format is *.5 or *.0
  6.      */
  7.     public double findMedianSortedArrays(int[] A, int[] B) {
  8.         if ((A == null || A.length == 0) && (B == null || B.length == 0)) {
  9.             return -1.0;
  10.         }
  11.         int lenA = (A == null) ? 0 : A.length;
  12.         int lenB = (B == null) ? 0 : B.length;
  13.         int len = lenA + lenB;
  15.         // return median for even and odd cases
  16.         if (len % 2 == 0) {
  17.             return (findKth(A, 0, B, 0, len/2) + findKth(A, 0, B, 0, len/2 + 1)) / 2.0;
  18.         } else {
  19.             return findKth(A, 0, B, 0, len/2 + 1);
  20.         }
  21.     }
  23.     private int findKth(int[] A, int indexA, int[] B, int indexB, int k) {
  25.         int lenA = (A == null) ? 0 : A.length;
  26.         if (indexA > lenA - 1) {
  27.             return B[indexB + k - 1];
  28.         }
  29.         int lenB = (B == null) ? 0 : B.length;
  30.         if (indexB > lenB - 1) {
  31.             return A[indexA + k - 1];
  32.         }
  34.         // avoid infilite loop if k == 1
  35.         if (k == 1) return Math.min(A[indexA], B[indexB]);
  37.         int keyA = Integer.MAX_VALUE, keyB = Integer.MAX_VALUE;
  38.         if (indexA + k/2 - 1 < lenA) keyA = A[indexA + k/2 - 1];
  39.         if (indexB + k/2 - 1 < lenB) keyB = B[indexB + k/2 - 1];
  41.         if (keyA > keyB) {
  42.             return findKth(A, indexA, B, indexB + k/2, k - k/2);
  43.         } else {
  44.             return findKth(A, indexA + k/2, B, indexB, k - k/2);
  45.         }
  46.     }
  47. }

源码分析

本题用非递归的方法非常麻烦，递归的方法减少了很多边界的判断。此题的边界条件较多，不容易直接从代码看清思路。首先分析找k大的辅助程序。以 Java 的代码为例。

  1. 首先在主程序中排除 A, B 均为空的情况。
  2. 排除 A 或者 B 中有一个为空或者长度为0的情况。如果A_start > A.size() - 1，意味着A中无数提供，故仅能从B中取，所以只能是B从B_start开始的第k个数。下面的B…分析方法类似。
  3. k为1时，无需再递归调用，直接返回较小值。如果 k 为1不返回将导致后面的无限循环。
  4. 以A为例，取出自A_start开始的第k / 2个数，若下标A_start + k / 2 - 1 < A.size()，则可取此下标对应的元素，否则置为int的最大值，便于后面进行比较，免去了诸多边界条件的判断。
  5. 比较A_key > B_key，取小的折半递归调用findKth。

接下来分析findMedianSortedArrays：

  1. 首先考虑异常情况，A, B都为空。
  2. A+B 的长度为偶数时返回len / 2和 len / 2 + 1的均值，为奇数时则返回len / 2 + 1

复杂度分析

找中位数，K 为数组长度和的一半，故总的时间复杂度为 O(\log (m+n)).

Reference