Subsets

Tags: Array, Backtracking, Bit Manipulation, Medium

Question

Problem Statement

Given a set of distinct integers, nums, return all possible subsets.

Note: The solution set must not contain duplicate subsets.

For example,
If nums = [1,2,3], a solution is:

  1. [
  2.   [3],
  3.   [1],
  4.   [2],
  5.   [1,2,3],
  6.   [1,3],
  7.   [2,3],
  8.   [1,2],
  9.   []
  10. ]

题解

子集类问题类似Combination，以输入数组[1, 2, 3]分析，根据题意，最终返回结果中子集类的元素应该按照升序排列，故首先需要对原数组进行排序。题目的第二点要求是子集不能重复，至此原题即转化为数学中的组合问题。我们首先尝试使用 DFS 进行求解，大致步骤如下：

  1. [1] -> [1, 2] -> [1, 2, 3]
  2. [2] -> [2, 3]
  3. [3]

将上述过程转化为代码即为对数组遍历，每一轮都保存之前的结果并将其依次加入到最终返回结果中。

Iterative

Python

  1. class Solution:
  2.     """
  3.     @param S: The set of numbers.
  4.     @return: A list of lists. See example.
  5.     """
  6.     def subsets(self, S):
  7.         if not S:
  8.             return []
  9.         ret = []
  10.         S.sort()
  11.         n = len(S)
  12.         # 000 -> []
  13.         # 001 -> [1]
  14.         # 010 -> [2]
  15.         # ...
  16.         # 111 -> [1, 2, 3]
  17.         for i in xrange(2**n):
  18.             tmp = []
  19.             for j in xrange(n):
  20.                 if i & (1 << j):
  21.                     tmp.append(S[j])
  22.             ret.append(tmp)
  23.         return ret

源码分析

利用类似bit map的原理， 将 0 ~ 2^n - 1个数值map到每个index上，如果index数值为1，就将该number加入。比如输入是[1 ,2 ,3], 那么当i = 0时，0也就是000， 那么000 -> []； 当i = 1时， 001 -> [1]; 直到i = 7, 111 -> [1, 2, 3].

Recursive

Python

  1. class Solution:
  2.     # @param {integer[]} nums
  3.     # @return {integer[][]}
  4.     def subsets(self, nums):
  5.         if nums is None:
  6.             return []
  8.         result = []
  9.         nums.sort()
  10.         self.dfs(nums, 0, [], result)
  11.         return result
  13.     def dfs(self, nums, pos, list_temp, ret):
  14.         # append new object with []
  15.         ret.append([] + list_temp)
  17.         for i in xrange(pos, len(nums)):
  18.             list_temp.append(nums[i])
  19.             self.dfs(nums, i + 1, list_temp, ret)
  20.             list_temp.pop()

less code style

  1. class Solution:
  2.     """
  3.     @param S: The set of numbers.
  4.     @return: A list of lists. See example.
  5.     """
  6.     def subsets(self, S):
  7.         ret = []
  8.         self.helper(sorted(S), ret, [])
  9.         return ret
  11.     def helper(self, vals, ret, tmp):
  12.         ret.append(tmp[:])
  13.         for i, val in enumerate(vals):
  14.             self.helper(vals[i + 1:], ret, tmp + [val])

C++

  1. class Solution {
  2. public:
  3.     vector<vector<int>> subsets(vector<int>& nums) {
  4.         vector<vector<int> > result;
  5.         if (nums.empty()) return result;
  7.         sort(nums.begin(), nums.end());
  8.         vector<int> list;
  9.         dfs(nums, 0, list, result);
  11.         return result;
  12.     }
  14. private:
  15.     void dfs(vector<int>& nums, int pos, vector<int> &list,
  16.              vector<vector<int> > &ret) {
  18.         ret.push_back(list);
  20.         for (int i = pos; i < nums.size(); ++i) {
  21.             list.push_back(nums[i]);
  22.             dfs(nums, i + 1, list, ret);
  23.             list.pop_back();
  24.         }
  25.     }
  26. };

Java

  1. public class Solution {
  2.     public List<List<Integer>> subsets(int[] nums) {
  3.         List<List<Integer>> result = new ArrayList<List<Integer>>();
  4.         List<Integer> list = new ArrayList<Integer>();
  5.         if (nums == null || nums.length == 0) {
  6.             return result;
  7.         }
  9.         Arrays.sort(nums);
  10.         dfs(nums, 0, list, result);
  12.         return result;
  13.     }
  15.     private void dfs(int[] nums, int pos, List<Integer> list,
  16.                      List<List<Integer>> ret) {
  18.         // add temp result first
  19.         ret.add(new ArrayList<Integer>(list));
  21.         for (int i = pos; i < nums.length; i++) {
  22.             list.add(nums[i]);
  23.             dfs(nums, i + 1, list, ret);
  24.             list.remove(list.size() - 1);
  25.         }
  26.     }
  27. }

源码分析

Java 和 Python 的代码中在将临时list 添加到最终结果时新生成了对象，(Python 使用[] +), 否则最终返回结果将随着list 的变化而变化。

Notice: backTrack(num, i + 1, list, ret);中的『i + 1』不可误写为『pos + 1』，因为pos用于每次大的循环，i用于内循环，第一次写subsets的时候在这坑了很久… :(

回溯法可用图示和函数运行的堆栈图来理解，强烈建议使用图形和递归的思想分析，以数组[1, 2, 3]进行分析。下图所示为list及result动态变化的过程，箭头向下表示list.add及result.add操作，箭头向上表示list.remove操作。

Subsets运行递归调用图

复杂度分析

对原有数组排序，时间复杂度近似为 O(n \log n). 状态数为所有可能的组合数 O(2^n), 生成每个状态所需的时间复杂度近似为 O(1), 如[1] -> [1, 2], 故总的时间复杂度近似为 O(2^n).

使用了临时空间list保存中间结果，list 最大长度为数组长度，故空间复杂度近似为 O(n).

Reference