Permutation Index

Question

Problem Statement

Given a permutation which contains no repeated number, find its index in all
the permutations of these numbers, which are ordered in lexicographical order.
The index begins at 1.

Example

Given [1,2,4], return 1.

题解

做过 next permutation 系列题的话自然能想到不断迭代直至最后一个，最后返回计数器的值即可。这种方法理论上自然是可行的，但是最坏情况下时间复杂度为 O(n!), 显然是不能接受的。由于这道题只是列出某给定 permutation 的相对顺序(index), 故我们可从 permutation 的特点出发进行分析。

以序列1, 2, 4为例，其不同的排列共有 3!=6 种，以排列[2, 4, 1]为例，若将1置于排列的第一位，后面的排列则有 2!=2 种。将2置于排列的第一位，由于[2, 4, 1]的第二位4在1, 2, 4中为第3大数，故第二位可置1或者2，那么相应的排列共有 2 * 1! = 2种，最后一位1为最小的数，故比其小的排列为0。综上，可参考我们常用的十进制和二进制的转换，对于[2, 4, 1], 可总结出其排列的index为2! * (2 - 1) + 1! * (3 - 1) + 0! * (1 - 1) + 1.

以上分析看似正确无误，实则有个关键的漏洞，在排定第一个数2后，第二位数只可为1或者4，而无法为2, 故在计算最终的 index 时需要动态计算某个数的相对大小。按照从低位到高位进行计算，我们可通过两重循环得出到某个索引处值的相对大小。

Python

  1. class Solution:
  2.     # @param {int[]} A an integer array
  3.     # @return {long} a long integer
  4.     def permutationIndex(self, A):
  5.         if A is None or len(A) == 0:
  6.             return 0
  8.         index = 1
  9.         factor = 1
  10.         for i in xrange(len(A) - 1, -1, -1):
  11.             rank = 0
  12.             for j in xrange(i + 1, len(A)):
  13.                 if A[i] > A[j]:
  14.                     rank += 1
  16.             index += rank * factor
  17.             factor *= (len(A) - i)
  19.         return index

C++

  1. class Solution {
  2. public:
  3.     /**
  4.      * @param A an integer array
  5.      * @return a long integer
  6.      */
  7.     long long permutationIndex(vector<int>& A) {
  8.         if (A.empty()) return 0;
  10.         long long index = 1;
  11.         long long factor = 1;
  12.         for (int i = A.size() - 1; i >= 0; --i) {
  13.             int rank = 0;
  14.             for (int j = i + 1; j < A.size(); ++j) {
  15.                 if (A[i] > A[j]) ++rank;
  16.             }
  17.             index += rank * factor;
  18.             factor *= (A.size() - i);
  19.         }
  21.         return index;
  22.     }
  23. };

Java

  1. public class Solution {
  2.     /**
  3.      * @param A an integer array
  4.      * @return a long integer
  5.      */
  6.     public long permutationIndex(int[] A) {
  7.         if (A == null || A.length == 0) return 0L;
  9.         long index = 1, fact = 1;
  10.         for (int i = A.length - 1; i >= 0; i--) {
  11.             // get rank in every iteration
  12.             int rank = 0;
  13.             for (int j = i + 1; j < A.length; j++) {
  14.                 if (A[i] > A[j]) rank++;
  15.             }
  17.             index += rank * fact;
  18.             fact *= (A.length - i);
  19.         }
  21.         return index;
  22.     }
  23. }

源码分析

注意 index 和 factor 的初始值，rank 的值每次计算时都需要重新置零，index 先自增，factorial 后自乘求阶乘。

复杂度分析

双重 for 循环，时间复杂度为 O(n^2). 使用了部分额外空间，空间复杂度 O(1).

Reference