二叉搜索树操作集锦

通过之前的文章框架思维,二叉树的遍历框架应该已经印到你的脑子里了,这篇文章就来实操一下,看看框架思维是怎么灵活运用,秒杀一切二叉树问题的。

二叉树算法的设计的总路线:明确一个节点要做的事情,然后剩下的事抛给框架。

  1. void traverse(TreeNode root) {
  2. // root 需要做什么?在这做。
  3. // 其他的不用 root 操心,抛给框架
  4. traverse(root.left);
  5. traverse(root.right);
  6. }

举两个简单的例子体会一下这个思路,热热身。

1. 如何把二叉树所有的节点中的值加一?

  1. void plusOne(TreeNode root) {
  2. if (root == null) return;
  3. root.val += 1;
  4. plusOne(root.left);
  5. plusOne(root.right);
  6. }

2. 如何判断两棵二叉树是否完全相同?

  1. boolean isSameTree(TreeNode root1, TreeNode root2) {
  2. // 都为空的话,显然相同
  3. if (root1 == null && root2 == null) return true;
  4. // 一个为空,一个非空,显然不同
  5. if (root1 == null || root2 == null) return false;
  6. // 两个都非空,但 val 不一样也不行
  7. if (root1.val != root2.val) return false;
  8. // root1 和 root2 该比的都比完了
  9. return isSameTree(root1.left, root2.left)
  10. && isSameTree(root1.right, root2.right);
  11. }

借助框架,上面这两个例子不难理解吧?如果可以理解,那么所有二叉树算法你都能解决。

二叉搜索树(Binary Search Tree,简称 BST)是一种很常用的的二叉树。它的定义是:一个二叉树中,任意节点的值要大于等于左子树所有节点的值,且要小于等于右边子树的所有节点的值。

如下就是一个符合定义的 BST:

BST

下面实现 BST 的基础操作:判断 BST 的合法性、增、删、查。其中“删”和“判断合法性”略微复杂。

零、判断 BST 的合法性

这里是有坑的哦,我们按照刚才的思路,每个节点自己要做的事不就是比较自己和左右孩子吗?看起来应该这样写代码:

  1. boolean isValidBST(TreeNode root) {
  2. if (root == null) return true;
  3. if (root.left != null && root.val <= root.left.val) return false;
  4. if (root.right != null && root.val >= root.right.val) return false;
  5. return isValidBST(root.left)
  6. && isValidBST(root.right);
  7. }

但是这个算法出现了错误,BST 的每个节点应该要小于右边子树的所有节点,下面这个二叉树显然不是 BST,但是我们的算法会把它判定为 BST。

notBST

出现错误,不要慌张,框架没有错,一定是某个细节问题没注意到。我们重新看一下 BST 的定义,root 需要做的不只是和左右子节点比较,而是要整个左子树和右子树所有节点比较。怎么办,鞭长莫及啊!

这种情况,我们可以使用辅助函数,增加函数参数列表,在参数中携带额外信息,请看正确的代码:

  1. boolean isValidBST(TreeNode root) {
  2. return isValidBST(root, null, null);
  3. }
  4. boolean isValidBST(TreeNode root, TreeNode min, TreeNode max) {
  5. if (root == null) return true;
  6. if (min != null && root.val <= min.val) return false;
  7. if (max != null && root.val >= max.val) return false;
  8. return isValidBST(root.left, min, root)
  9. && isValidBST(root.right, root, max);
  10. }

一、在 BST 中查找一个数是否存在

根据我们的指导思想,可以这样写代码:

  1. boolean isInBST(TreeNode root, int target) {
  2. if (root == null) return false;
  3. if (root.val == target) return true;
  4. return isInBST(root.left, target)
  5. || isInBST(root.right, target);
  6. }

这样写完全正确,充分证明了你的框架性思维已经养成。现在你可以考虑一点细节问题了:如何充分利用信息,把 BST 这个“左小右大”的特性用上?

很简单,其实不需要递归地搜索两边,类似二分查找思想,根据 target 和 root.val 的大小比较,就能排除一边。我们把上面的思路稍稍改动:

  1. boolean isInBST(TreeNode root, int target) {
  2. if (root == null) return false;
  3. if (root.val == target)
  4. return true;
  5. if (root.val < target)
  6. return isInBST(root.right, target);
  7. if (root.val > target)
  8. return isInBST(root.left, target);
  9. // root 该做的事做完了,顺带把框架也完成了,妙
  10. }

于是,我们对原始框架进行改造,抽象出一套针对 BST 的遍历框架

  1. void BST(TreeNode root, int target) {
  2. if (root.val == target)
  3. // 找到目标,做点什么
  4. if (root.val < target)
  5. BST(root.right, target);
  6. if (root.val > target)
  7. BST(root.left, target);
  8. }

二、在 BST 中插入一个数

对数据结构的操作无非遍历 + 访问,遍历就是“找”,访问就是“改”。具体到这个问题,插入一个数,就是先找到插入位置,然后进行插入操作。

上一个问题,我们总结了 BST 中的遍历框架,就是“找”的问题。直接套框架,加上“改”的操作即可。一旦涉及“改”,函数就要返回 TreeNode 类型,并且对递归调用的返回值进行接收。

  1. TreeNode insertIntoBST(TreeNode root, int val) {
  2. // 找到空位置插入新节点
  3. if (root == null) return new TreeNode(val);
  4. // if (root.val == val)
  5. // BST 中一般不会插入已存在元素
  6. if (root.val < val)
  7. root.right = insertIntoBST(root.right, val);
  8. if (root.val > val)
  9. root.left = insertIntoBST(root.left, val);
  10. return root;
  11. }

三、在 BST 中删除一个数

这个问题稍微复杂,不过你有框架指导,难不住你。跟插入操作类似,先“找”再“改”,先把框架写出来再说:

  1. TreeNode deleteNode(TreeNode root, int key) {
  2. if (root.val == key) {
  3. // 找到啦,进行删除
  4. } else if (root.val > key) {
  5. root.left = deleteNode(root.left, key);
  6. } else if (root.val < key) {
  7. root.right = deleteNode(root.right, key);
  8. }
  9. return root;
  10. }

找到目标节点了,比方说是节点 A,如何删除这个节点,这是难点。因为删除节点的同时不能破坏 BST 的性质。有三种情况,用图片来说明。

情况 1:A 恰好是末端节点,两个子节点都为空,那么它可以当场去世了。

图片来自 LeetCode
1

  1. if (root.left == null && root.right == null)
  2. return null;

情况 2:A 只有一个非空子节点,那么它要让这个孩子接替自己的位置。

图片来自 LeetCode
2

  1. // 排除了情况 1 之后
  2. if (root.left == null) return root.right;
  3. if (root.right == null) return root.left;

情况 3:A 有两个子节点,麻烦了,为了不破坏 BST 的性质,A 必须找到左子树中最大的那个节点,或者右子树中最小的那个节点来接替自己。我们以第二种方式讲解。

图片来自 LeetCode
2

  1. if (root.left != null && root.right != null) {
  2. // 找到右子树的最小节点
  3. TreeNode minNode = getMin(root.right);
  4. // 把 root 改成 minNode
  5. root.val = minNode.val;
  6. // 转而去删除 minNode
  7. root.right = deleteNode(root.right, minNode.val);
  8. }

三种情况分析完毕,填入框架,简化一下代码:

  1. TreeNode deleteNode(TreeNode root, int key) {
  2. if (root == null) return null;
  3. if (root.val == key) {
  4. // 这两个 if 把情况 1 和 2 都正确处理了
  5. if (root.left == null) return root.right;
  6. if (root.right == null) return root.left;
  7. // 处理情况 3
  8. TreeNode minNode = getMin(root.right);
  9. root.val = minNode.val;
  10. root.right = deleteNode(root.right, minNode.val);
  11. } else if (root.val > key) {
  12. root.left = deleteNode(root.left, key);
  13. } else if (root.val < key) {
  14. root.right = deleteNode(root.right, key);
  15. }
  16. return root;
  17. }
  18. TreeNode getMin(TreeNode node) {
  19. // BST 最左边的就是最小的
  20. while (node.left != null) node = node.left;
  21. return node;
  22. }

删除操作就完成了。注意一下,这个删除操作并不完美,因为我们一般不会通过 root.val = minNode.val 修改节点内部的值来交换节点,而是通过一系列略微复杂的链表操作交换 root 和 minNode 两个节点。因为具体应用中,val 域可能会很大,修改起来很耗时,而链表操作无非改一改指针,而不会去碰内部数据。

但这里忽略这个细节,旨在突出 BST 基本操作的共性,以及借助框架逐层细化问题的思维方式。

四、最后总结

通过这篇文章,你学会了如下几个技巧:

  1. 二叉树算法设计的总路线:把当前节点要做的事做好,其他的交给递归框架,不用当前节点操心。

  2. 如果当前节点会对下面的子节点有整体影响,可以通过辅助函数增长参数列表,借助参数传递信息。

  3. 在二叉树框架之上,扩展出一套 BST 遍历框架:

    1. void BST(TreeNode root, int target) {
    2. if (root.val == target)
    3. // 找到目标,做点什么
    4. if (root.val < target)
    5. BST(root.right, target);
    6. if (root.val > target)
    7. BST(root.left, target);
    8. }
  4. 掌握了 BST 的基本操作。

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