11.3 计算物理学

计算物理学（computational physics）研究利用计算机来解决物理问题，是计算机科学、 计算数学和物理学相结合而形成的交叉学科。如今，计算物理已经与理论物理、实验物理一 起构成了物理学的三大支柱。

物理学旨在发现、解释和预测宇宙运行规律，而为了更准确地做到这一点，今天的物理 学越来越依赖于计算。首先，很多物理问题涉及海量的实验数据，依靠手工处理根本无力解决。例如在高能物理实验中，由于实验技术的发展和测量精度的提高，实验规模越来越大， 实验数据也大幅增加，只能利用计算机来处理实验数据。其次，很多物理问题涉及复杂的计 算，解析方法或手工数值计算无法解决这样的计算问题。例如电子反常磁矩修正的计算，对 四阶修正的手工解析技术已经相当繁杂，而对六阶修正的计算已经包含了 72 个费曼图，手 工解析运算已不可能完成。同样只能利用计算机来解决问题。

在物理学中运用计算思维，使我们可以利用数值计算、符号计算和模拟等方法来发现和 预测物理系统的特性和规律。

解决物理问题时，通常在获得描述物理过程的数学公式后，需要进行数值分析以便与实 验结果进行对照。对于复杂的计算，手工数值分析是不可能的，只能采用数值方法利用计算 机来计算。

有些物理问题不是数值计算问题，需要利用计算机的符号处理能力来解决。例如，理论 物理中的公式推导，就是纯粹的符号变换。有时即使是数值计算问题，由于精度要求很高， 导致计算耗时很长甚至无法达到所需精度，这时可以利用符号计算来推导出解析形式的问题 解。又如，有时数值方法是病态的，如果能将数值计算改成解析计算，则可以得到有意义的 结果。

统计物理中有个自回避随机迁移问题，它是在随机漫步中加上了一个限制，即以后的步 子不能穿过以前各步所走过的路径。这样的问题不像一般的迁移问题那样可以用微分方程来 描写系统的统计行为，计算机模拟几乎是唯一的研究方法。计算机模拟不受实验条件、时间 和空间的限制，只要建立了模型，就能进行模拟实验，因而具有极大的灵活性。下面通过一 个实例来介绍模拟方法在计算物理学中的应用。

热平衡系统的模拟

为了研究一个包含 N 个粒子的热系统，原则上只要了解每个粒子的运动，就能弄清楚 粒子和粒子之间的每一次相互作用。但由于粒子数目太大，要想计算 N 个粒子的轨迹以及 N(N-1)对相互作用，是非常困难的。

然而，对于处于平衡态的热系统，虽然系统的微观特性总是在变动，但其宏观特性则是 恒定不变的，体现为具有恒定的温度。系统的微观状态由每个粒子的速度等物理量来刻划， 粒子间的相互作用会导致微观状态改变；而系统的宏观状态是微观状态的集体特性，表现为 系统的总能量（或温度等）。统计物理学认为，虽然微观状态可能没有规则，但宏观状态服 从统计规律。对于处于平衡态的理想气体而言，虽然微观相互作用可导致粒子能量的重新分 配，但系统的总能量保持不变。

考虑一个由三个粒子组成的小系统 S。假设共有 4 份能量在这三个粒子之间交换，则能 量分布可以有以下 15 种状态：(4,0,0)、(0,4,0)、(0,0,4)、(3,1,0)、(3,0,1)、(1,3,0)、(0,3,1)、(1,0,3)、(0,1,3)、(2,2,0)、(2,0,2)、(2,1,1)、(0,2,2)、(1,2,1)、(1,1,2)。这里元组(a,b,c)表示三个粒子各

自获得的能量。每种微观状态都有自己的出现概率，例如从这 15 种微观状态可见，一个粒 子占有全部能量的概率为 3/15 = 0.2。S 的平衡特性由概率较高的微观状态决定，而通过随 机抽样方法（蒙特卡洛方法）可以有效地产生高可能性微观状态，从而可以用来评估 S 的 平衡特性。

我们引入一个“demon”来与系统 S 发生相互作用。作用方式是：令 demon 与 S 中某 个随机选择的粒子进行相互作用，并试着随机改变该粒子的状态（对气体来说就是改变粒子 的速度）；如果这个改变导致粒子能量减少，则执行这个改变，并将少掉的能量传递给 demon； 如果这个改变导致粒子能量增加，则仅当 demon 有足够能量传递给粒子时才执行这次改变。 按这种方式，每次产生新的微观状态时，系统 S 的能量加上 demon 的能量保持不变。

具体地，将 demon 加入到 S（包含三个微观粒子）中后，宏观状态仍为 4 份能量。新系统“S+demon”的 demon 为 0 能量的状态共有 15 个，正对应于原始系统 S 的那 15 个状态。 如果尝试改变一个微观状态使得某个粒子减少一份能量，则将那份能量转给 demon，这样就 使原始系统变成了具有 3 份能量的系统，而 demon 具有 1 份能量。与这种情况对应的微观 状态有 10 个，即(3,0,0)、(0,3,0)、(0,0,3)、(2,1,0)、(2,0,1)、(1,2,0)、(0,2,1)、(1,0,2)、(0,1,2)和(1,1,1)。由此可见，如果实施一系列的微观状态随机改变，将发现 demon 具有 1 份能量与 具有 0 份能量的相对概率为 10/15 = 2/3。也就是说，当 demon 扰乱小系统 S 时，S 仍然处于 原来的宏观能量的可能性更大，而不是处于某个较低能量。

同理，如果 demon 具有 2 份能量，则 S+demon 系统具有 6 个微观状态；如果 demon 具 有 3 份能量，则组合系统具有 3 种微观状态；如果 demon 拥有全部 4 份能量，则组合系统 只有一种微观状态。这几种情形对应的相对概率分别为 6/15、3/15 和 1/15。

一般地，对于一个宏观系统，当产生大量的微观状态改变之后，其中 demon 拥有能量 E 的微观状态，与 demon 拥有 0 能量的微观状态数目之比是随 E 的升高而呈指数形式下降的， 具体公式为

其中 k 是玻尔兹曼常数，T 是宏观系统的温度。以我们的小系统 S 为例，p(Ed=1) / p(Ed = 0) 约为 2/3。

总之，计算物理学依据理论物理提供的物理原理和数学方程，针对实验物理提供的实验 数据，进行数值计算或符号计算，从而为理论研究提供数据、帮助分析实验数据和模拟物理 系统。