向量的数学运算

向量的计算主要借助 “线性代数”

1、特殊向量

零向量：

  1.     向量的所有分量都是0
  2.     几何意义：用于表达参考坐标系的原始点（出发点）
  3.     注意：零向量没有大小没有方向，是一个特殊向量

负向量：

  1.     对于向量的每一个维度产生负数的变化（通俗讲就是每个维度乘以 －1）
  2.     几何意义：负向量与原始向量的位置一样，但是位移相反
  3.     注意：零向量没有负向量

单位向量：

  1. 长度为1的向量

2、向量大小计算

  1. 方向是我们规定的，但是移动了多少个单位，我们需要精确的计算
  3. 在线性代数中我们称向量的大小计算为“求模”运算
  5.     各个维度上的数平方再相加，将最后的和开方求解；
  6.     求模运算的结果是：一个标量；
  7.     例如：向量 V [x, y, z]
  8.     求模：sqrt( x * x + y * y + z * z);
  9. 几何意义：用来求这个向量的长度（从原点到向量尾的长度）

3、向量的方向

  1. 可以用向量的单位向量表示，便于计算

4、向量与标量的运算

  1. 向量与标量乘法
  2.     向量的各个维度和已有标量值进行相乘，计算结果还是一个向量
  3.     （1， 2， 3）＊ 5 ＝ （5， 10， 15）
  4. 向量与标量除法
  5.     （5， 10， 15）／5 ＝ （1， 2， 3）
  7. 注意：向量与标量只能进行乘除，不能加减
  9. 几何意义：为了实现向量的各个维度同时扩大或缩小。向量缩放因子范围是 0 - 正无穷。如果缩放因子为负表示反方向向量（倒转向量方向放大或缩小）。

5、向量标准化

  1. 有时候我们只关心向量的位移，对于向量的大小不需要关心，这样的形式我们可以将向量的各个维度缩到0 － 1之间，使向量的长度为 1。去除他的位置特性。这样的表示我们称为“向量标准化”
  3. 公式：V / |V| = Vnormal
  5. 几何意义：为了得到指定向量的方向，不保留向量大小。在计算机图形学中是为了描述一个“法线”法线只有方向没有大小，他是人为虚拟的一个向量。

6、向量加法

  1. 计算方式：两个向量的维度必须一样，两个向量的各个维度相加，得到一个新向量；
  3. 数学意义
  4.     （3， 4， 5）＋（7， 8， 9）＝ （10， 12， 14）
  6. 几何意义
  7.     A向量＋B向量＝把这个两个向量首尾相连，从起始端指向末端的一个向量

7、向量减法

  1. 计算方式：两个向量的维度必须一样，两个向量的各个维度相减，得到一个新向量；
  3. 数学意义
  4.     （3， 4， 5）－（7， 8， 9）＝ （－4， -4， -4）
  6. 几何意义
  7.     A向量－B向量＝从B向量的带箭头的那一端指向A向量带箭头的那一端

8、向量点乘

  1. 写法：a 点乘 b；你在纸上写成一个 “点”
  2. 点乘需要两个维度相同的向量，然后让两个向量的维度相互乘再把所有维度的积加起来；
  3. 几何意义：点乘用于描述两个向量的相似度的，如果点乘结果越大两个向量的方向越相似；
  5. 点乘就是为了求角度的：
  6.     a • b ＝ ||a|| * ||b|| * cos@;
  8. 注意：如果两个向量已经标准化了，a 点乘 b表示两个向量的 cos值，我们对其 acos 得到弧度值，然后用 弧度转度获取角度

9、向量叉乘

  1. A向量 X B向量；两个向量中间的乘号我们应该写成 "X"
  2. 叉乘的结果是一个垂直于这两个向量的新向量。
  3. 方向要用“右手法则”判断（用右手的四指先表示向量a的方向，然后手指朝着手心的方向摆动到向量b的方向，大拇指所指的方向就是向量c的方向）
  5. 数学运算：
  6.     x1   x2   y1z2 - z1y2
  7.     y1 X y2 = z1x2 - x1z2
  8.     z1   z2   z1y2 - y1x2
  10. 叉乘不满足交换律，也不满足结合律；
  12. 几何意义：两个向量叉乘后的结果是垂直于这两个向量的。起始就是为了求得两个向量的垂直线，这个垂直线被标准化后就是我们的法线
  14. |c| = |a x b| = |a| * |b| * sin<theta>

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