Quaternion

四元数用于表示旋转。

它们是紧凑的，不会出现万向节锁并且能够很容易被插值。Unity内使用Quaternion表示所有旋转。

他们基于复数并且直觉上不容易理解。你几乎不必要进入或者修改个人的四元数组件(x,y,z,w)；

Quaternion.Slerp 球形插值

球形插值，通过t值from向to之间插值。参数取值范围[0,1]。

实例：

    using UnityEngine;
    using System.Collections;
    public class ExampleClass : MonoBehaviour {
        public Transform from;
        public Transform to;
        public float speed = 0.1F;
        void Update() {
            transform.rotation = Quaternion.Slerp(from.rotation, to.rotation, Time.time * speed);
        }
    }

Quaternion.LookRotation 注视旋转

创建一个旋转，沿着forward（z轴）并且头部沿着upwards（y轴）的约束注视。也就是建立一个旋转，使z轴朝向view y轴朝向up。

返回计算四元数。如果用于定向的变换，Z轴将会被对准前方并且如果这些向量正交，Y轴向前。如果forward方向是0，记录一个错误。

实例：

    using UnityEngine;
    using System.Collections;
    public class ExampleClass : MonoBehaviour {
        public Transform target;
        void Update() {
            Vector3 relativePos = target.position - transform.position;
            Quaternion rotation = Quaternion.LookRotation(relativePos);
            transform.rotation = rotation;
        }
    }

四元数

  四元数是简单的超复数。 复数是由实数加上虚数单位 i 组成，其中i^2 = -1。 相似地，四元数都是由实数加上三个虚数单位 i、j、k 组成，而且它们有如下的关系： i^2 = j^2 = k^2 = -1， i^0 = j^0 = k^0 = 1 , 每个四元数都是 1、i、j 和 k 的线性组合，即是四元数一般可表示为a + bk+ cj + di，其中a、b、c 、d是实数。

使用轴角对的形式描述一个旋转
绕轴n旋转?角度 描述为[cos(?/2), sin(?/2)nx, sin(?/2)ny, sin(?/2)nz]

矩阵旋转

优点：
    旋转轴可以是任意向量
缺点：
    旋转其实只需要知道一个向量+一个角度，一共4个值的信息，但矩阵法却使用了16个元素
    而且在做乘法操作时也会增加计算量，造成了空间和时间上的一些浪费

欧拉旋转

优点：
    很容易理解，形象直观
    表示更方便，只需要3个值（分别对应x、y、z轴的旋转角度）；但它还是转换到了3个3*3的矩阵做变换，效率不如四元数；
缺点：
    这种方法是要按照一个固定的坐标轴的顺序旋转的，因此不同的顺序会造成不同的结果；
    会造成万向节锁（Gimbal Lock）的现象。这种现象的发生就是由于上述固定坐标轴旋转顺序造成的。理论上，欧拉旋转可以靠这种顺序让一个物体指到任何一个想要的方向，但如果在旋转中不幸让某些坐标轴重合了就会发生万向节锁，这时就会丢失一个方向上的旋转能力，也就是说在这种状态下我们无论怎么旋转（当然还是要原先的顺序）都不可能得到某些想要的旋转效果，除非我们打破原先的旋转顺序或者同时旋转3个坐标轴。
    由于万向节锁的存在，欧拉旋转无法实现球面平滑插值；

四元数旋转

优点：
    可以避免万向节锁现象
    只需要一个4维的四元数就可以绕任意过原点的向量的旋转，方便快捷，在某些实现下比旋转矩阵效率更高；
    可以提供平滑插值
缺点：
    比欧拉旋转稍微复杂了一点点，因为多了一个纬度
    理解更困难，不直观

复数： a + bi i是虚数，满足 i^2 = -1: a称为实部 b称为虚部。

任意实数k都能表示为复数(k, 0) = k + 0i

复数 + - *
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i
(a + bi) * (c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 = ac + (ad + bc)i + bd*(-1) = (ac - bd) + (ad + bc)i

共轭复数：通过使虚部变负，能够计算出复数的共轭。

p = (a + bi) 、p* = (a - bi)
能计算复数的模长：|p| = Sqrt(p * p*) = Sqrt(a^2 + b^2)

复数存在于一个2D平面上，实轴、虚轴。将复数(x, y)解释为2D向量。它们能用来表达平面中的旋转。

例如：复数p绕原点旋转角度theta的情况。
进行这个旋转，引入第二个复数q = (cos<theta>, sin<theta>)。
旋转后的复数p'能用复数乘法计算出来：
p = x + yi
q = cos<theta> + i * sin<theta>
p' = p * q
   = (x + yi)(cos<theta> + i * sin<theta>)
   = (xcos<theta> - ysin<theta>) + (xsin<theta> + ycos<theta>)i

四元数：四元数扩展了复数系统，它使用三个虚部 i, j, k。

它们的关系如下：

    i^2 = j^2 = k^2 = -1
    ij = k, ji = -k
    jk = i, kj = -i
    ki = j, ik = -j

一个四元数[w, (x, y, z)]定义了复数 w + xi + yj + zk。

和复数能用来旋转2D中的向量类似，四元数也能用来旋转3D中的向量。

四元数和轴-角对

在3D中任意角位移都能表示为绕单一轴（任意的）的单一旋转。轴-角对(n, theta)定义了一个角位移：绕n指定的轴旋转theta角。

        q = [cos<theta/2> sin<theta/2>n]
          = [cos<theta/2> (sin<theta/2>nx sin<theta/2>ny sin<theta/2>nz)]

负四元数 ： 将每个分量都变负

    -q = -[w (x y z)] = [-w (-x -y -z)]
       = -[w v] = [-w -v]

q 和 -q代表的角位移是相同的。如果我们将theta加上360度的倍数，不会改变q代表的角位移，但它使q的四个分量都变负了。因此，3D中的任意角位移都有两种不同的四元数表示方法，它们互相为负。

单位四元数

几何上，存在两个“单位”四元数，它们代表没有角位移：[1, 0]和[-1, 0]。当theta是360的偶数倍时，cos=1;theta是360的奇数倍时，cos = -1。在两种情况下，都有sin=0，所以n的值无关紧要。它的意义在于：当旋转角theta是360的整数倍时，方位并没有改变，并且旋转轴也是无关紧要的。

在数学上，实际只有一个单位四元数：[1, 0]，[-1, 0]并不是“真正”的单位四元数。用任意四元数q乘以单位四元数[1, 0]，结果仍是q。

四元数的模

计算：和向量类似几何意义：如果使用单位四元数，则模长为1。为了用四元数来表示方位，我们仅使用单位四元数。

四元数共轭和逆

四元数的共轭记作：q*，可通过让四元数的向量部分变负来获得 （把轴反向，其实就是按照相反的方向旋转）

    q* = [w v]* = [w -v]
       = [w (x y z)]* = [w (-x -y -z)]

四元数的逆记作：q^-1，定义为四元数的共轭除以它的模

    q^-1 = q* / |q|

一个四元数q乘以它的逆q^-1，即可得到单位四元数[1, 0]

对于单位四元数，四元数的逆和共轭是相等的。

四元数乘法（叉乘）

满足结合律但不满足交换律四元数乘积的模等于模的乘积。两个单位四元数相乘的结果还是单位四元数。

四元数乘积的逆等于各个四元数的逆以相反的顺序相乘。

    (ab)^-1 = b^-1a^-1

将一个标准的点到四元数空间 即 p = [0, (x, y, z)] 设q为我们讨论的旋转四元数形式[cos, nsin]

    p' = qpq^-1   可以使点p绕n旋转

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