四元数

四元数特点

  1.     1、四元数数据量小，只有四个元素
  2.     2、四元数可以利用向量叉乘来计算，省去了矩阵乘法计算
  3.     3、他会一直保持向量的维度是4维

四元数组合

  1.     [ w, (x, y, z) ]
  2.     [ w, v ]
  4.     w是实数， v是三个虚数的组合
  6.     计算
  7.         四元数的四个分量存储着轴角对 v(x, y, z), theta
  8.         x = v.x * sin(theta/2)
  9.         y = v.y * sin(theta/2)
  10.         z = v.z * sin(theta/2)
  11.         w = cos(theta/2)

四元数叉乘

  1.     叉乘后还是四元数
  2.     叉乘满足结合律，但不满足交换律.
  4.     q1 = [v1, w1]
  5.     q2 = [v2, w2]
  6.     q1 x q2 = [(v1 * w2 + v2 * w1 + Cross<v1, v2>), (w1 * w2 - Dot<v1, v2>)]
  10.         参照复数四则运算
  11.         使我们的虚数部分变成负数：就是共轭
  12.             q＊ ＝ ［w, (-x, -y, -z)］
  14.         求模
  15.             |p| = sqrt( a*a + b*b );
  16.             |q| = sqrt( pow(cos(a/2), 2) + pow(sin(a/2), 2) )
  18.         求逆
  19.             q^-1 = q* / |q|
  21.         如果我们使用单位四元数是单位四元数那么就可以得到 q^-1 = q*. 所以单位四元数的共轨等于他的逆
  23.         将逆和向量叉乘得到我们四元数旋转后的新坐标点
  25.     注意事项
  26.         四元数也是线性的，千万不能同时旋转

四元数和点

  1.     把一个标准3D点(x,y,z)扩展到四元数空间: P = [0, (x,y,z)]即可，一般情况下它不会是单位四元数
  3.     设Q为旋转四元数Q=[cos(theta/2),nsin(theta/2)]，n为单位向量，theta为旋转角度，那么P绕n旋转theta度就是：
  5.     P` = Q * P * Q^-1

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