15.1. 表示性错误

本小节将详细解释 “0.1” 的例子，并说明你可以怎样亲自对此类情况进行精确分析。 假定前提是已基本熟悉二进制浮点表示法。

表示性错误 是指某些（其实是大多数）十进制小数无法以二进制（以 2 为基数的计数制）精确表示这一事实造成的错误。 这就是为什么 Python（或者 Perl、C、C++、Java、Fortran 以及许多其他语言）经常不会显示你所期待的精确十进制数值的主要原因。

为什么会这样？ 1/10 是无法用二进制小数精确表示的。 目前（2000年11月）几乎所有使用 IEEE-754 浮点运算标准的机器以及几乎所有系统平台都会将 Python 浮点数映射为 IEEE-754 “双精度类型”。 754 双精度类型包含 53 位精度，因此在输入时，计算会尽量将 0.1 转换为以 J/2**N 形式所能表示的最接近分数，其中 J 为恰好包含 53 个二进制位的整数。 重新将

1 / 10 ~= J / (2**N)

写为

J ~= 2**N / 10

并且由于 J 恰好有 53 位 (即 >= 2**52 但 < 2**53)，N 的最佳值为 56:

>>> 2**52 <=  2**56 // 10  < 2**53
True

也就是说，56 是唯一的 N 值能令 J 恰好有 53 位。 这样 J 的最佳可能值就是经过舍入的商:

>>> q, r = divmod(2**56, 10)
>>> r
6

由于余数超过 10 的一半，最佳近似值可通过四舍五入获得:

>>> q+1
7205759403792794

这样在 754 双精度下 1/10 的最佳近似值为:

7205759403792794 / 2 ** 56

分子和分母都除以二则结果小数为:

3602879701896397 / 2 ** 55

请注意由于我们做了向上舍入，这个结果实际上略大于 1/10；如果我们没有向上舍入，则商将会略小于 1/10。 但无论如何它都不会是 精确的 1/10！

因此计算永远不会“看到”1/10：它实际看到的就是上面所给出的小数，它所能达到的最佳 754 双精度近似值:

>>> 0.1 * 2 ** 55
3602879701896397.0

如果我们将该小数乘以 10**55，我们可以看到该值输出为 55 位的十进制数:

>>> 3602879701896397 * 10 ** 55 // 2 ** 55
1000000000000000055511151231257827021181583404541015625

这意味着存储在计算机中的确切数值等于十进制数值 0.1000000000000000055511151231257827021181583404541015625。 许多语言（包括较旧版本的 Python）都不会显示这个完整的十进制数值，而是将结果舍入为 17 位有效数字:

>>> format(0.1, '.17f')
'0.10000000000000001'

fractions 和 decimal 模块可令进行此类计算更加容易:

>>> from decimal import Decimal
>>> from fractions import Fraction
>>> Fraction.from_float(0.1)
Fraction(3602879701896397, 36028797018963968)
>>> (0.1).as_integer_ratio()
(3602879701896397, 36028797018963968)
>>> Decimal.from_float(0.1)
Decimal('0.1000000000000000055511151231257827021181583404541015625')
>>> format(Decimal.from_float(0.1), '.17')
'0.10000000000000001'