cmath ——关于复数的数学函数

这一模块提供了一些关于复数的数学函数。 该模块的函数的参数为整数、浮点数或复数。 这些函数的参数也可为一个拥有 complex() 或 float() 方法的 Python 对象，这些方法分别用于将对象转换为复数和浮点数，这些函数作用于转换后的结果。

注解

在具有对于有符号零的硬件和系统级支持的平台上，涉及分歧点的函数在分歧点的 两侧 都是连续的：零的符号可用来区别分歧点的一侧和另一侧。 在不支持有符号零的平台上，连续性的规则见下文。

到极坐标和从极坐标的转换

使用 矩形坐标 或 笛卡尔坐标 在内部存储 Python 复数 z。 这完全取决于它的 实部 z.real 和 虚部 z.imag。 换句话说:

  1. z == z.real + z.imag*1j

极坐标 提供了另一种复数的表示方法。在极坐标中，一个复数 z 由模量 r 和相位角 phi 来定义。模量 r 是从 z 到坐标原点的距离，而相位角 phi 是以弧度为单位的，逆时针的，从正X轴到连接原点和 z 的线段间夹角的角度。

下面的函数可用于原生直角坐标与极坐标的相互转换。

  • cmath.phase(x)
  • 将 x 的相位 (也称为 x 的 参数) 返回为一个浮点数。phase(x) 相当于 math.atan2(x.imag, x.real)。 结果处于 [-π, π] 之间，以及这个操作的分支切断处于负实轴上，从上方连续。 在支持有符号零的系统上（这包涵大多数当前的常用系统），这意味着结果的符号与 x.imag 的符号相同，即使 x.imag 的值是 0:
  1. >>> phase(complex(-1.0, 0.0))
  2. 3.141592653589793
  3. >>> phase(complex(-1.0, -0.0))
  4. -3.141592653589793

注解

一个复数 x 的模数（绝对值）可以通过内置函数 abs() 计算。没有单独的 cmath 模块函数用于这个操作。

  • cmath.polar(x)
  • 在极坐标中返回 x 的表达方式。返回一个数对 (r, phi)，r 是 x 的模数，phi 是 x 的相位角。 polar(x) 相当于 (abs(x), phase(x))。
  • cmath.rect(r, phi)
  • 通过极坐标的 r 和 phi 返回复数 x。相当于 r (math.cos(phi) + math.sin(phi)1j)。

幂函数与对数函数

  • cmath.exp(x)
  • 返回 e 的 x 次方，e 是自然对数的底数。
  • cmath.log(x[, base])
  • 返回给定 base 的 x 的对数。如果没有给定 base，返回 x 的自然对数。 从 0 到 -∞ 存在一个分歧点，沿负实轴之上连续。
  • cmath.log10(x)
  • 返回底数为 10 的 x 的对数。它具有与 log() 相同的分歧点。
  • cmath.sqrt(x)
  • 返回 x 的平方根。 它具有与 log() 相同的分歧点。

三角函数

  • cmath.acos(x)
  • 返回 x 的反余弦。这里有两个分歧点：一个沿着实轴从 1 向右延伸到 ∞，从下面连续延伸。另外一个沿着实轴从 -1 向左延伸到 -∞，从上面连续延伸。
  • cmath.asin(x)
  • 返回 x 的反正弦。它与 acos() 有相同的分歧点。
  • cmath.atan(x)
  • 返回 x 的反正切。它具有两个分歧点：一个沿着虚轴从 1j 延伸到 ∞j，向右持续延伸。另一个是沿着虚轴从 -1j 延伸到 -∞j ，向左持续延伸。
  • cmath.cos(x)
  • 返回 x 的余弦。
  • cmath.sin(x)
  • 返回 x 的正弦。
  • cmath.tan(x)
  • 返回 x 的正切。

双曲函数

  • cmath.acosh(x)
  • 返回 x 的反双曲余弦。它有一个分歧点沿着实轴从 1 到 -∞ 向左延伸，从上方持续延伸。
  • cmath.asinh(x)
  • 返回 x 的反双曲正弦。它有两个分歧点：一个沿着虚轴从 1j 向右持续延伸到 ∞j。另一个是沿着虚轴从 -1j 向左持续延伸到 -∞j。
  • cmath.atanh(x)
  • 返回 x 的反双曲正切。它有两个分歧点：一个是沿着实轴从 1 延展到 ∞，从下面持续延展。另一个是沿着实轴从 -1 延展到 -∞，从上面持续延展。
  • cmath.cosh(x)
  • 返回 x 的双曲余弦值。
  • cmath.sinh(x)
  • 返回 x 的双曲正弦值。
  • cmath.tanh(x)
  • 返回 x 的双曲正切值。

分类函数

  • cmath.isfinite(x)
  • 如果 x 的实部和虚部都是有限的，则返回 True，否则返回 False。

3.2 新版功能.

  • cmath.isinf(x)
  • 如果 x 的实部或者虚部是无穷大的，则返回 True，否则返回 False。
  • cmath.isnan(x)
  • 如果 x 的实部或者虚部是 NaN，则返回 True ，否则返回 False。
  • cmath.isclose(a, b, *, rel_tol=1e-09, abs_tol=0.0)
  • 若 a 和 b 的值比较接近则返回 True，否则返回 False。

根据给定的绝对和相对容差确定两个值是否被认为是接近的。

rel_tol 是相对容差 —— 它是 a 和 b 之间允许的最大差值，相对于 a 或 b 的较大绝对值。例如，要设置5％的容差，请传递 reltol=0.05 。默认容差为 1e-09，确保两个值在大约9位十进制数字内相同。 _rel_tol 必须大于零。

abs_tol 是最小绝对容差 —— 对于接近零的比较很有用。 abs_tol 必须至少为零。

如果没有错误发生，结果将是： abs(a-b) <= max(rel_tol * max(abs(a), abs(b)), abs_tol) 。

IEEE 754特殊值 NaN ， inf 和 -inf 将根据IEEE规则处理。具体来说， NaN 不被认为接近任何其他值，包括 NaN 。 inf 和 -inf 只被认为接近自己。

3.5 新版功能.

参见

PEP 485 —— 用于测试近似相等的函数

常量

  • cmath.pi
  • 数学常数 π ，作为一个浮点数。
  • cmath.e
  • 数学常数 e ，作为一个浮点数。
  • cmath.tau
  • 数学常数 τ ，作为一个浮点数。

3.6 新版功能.

  • cmath.inf
  • 浮点正无穷大。相当于 float('inf')。

3.6 新版功能.

  • cmath.infj
  • 具有零实部和正无穷虚部的复数。相当于 complex(0.0, float('inf'))。

3.6 新版功能.

  • cmath.nan
  • 浮点“非数字”（NaN）值。相当于 float('nan')。

3.6 新版功能.

  • cmath.nanj
  • 具有零实部和 NaN 虚部的复数。相当于 complex(0.0, float('nan'))。

3.6 新版功能.

请注意，函数的选择与模块 math 中的函数选择相似，但不完全相同。 拥有两个模块的原因是因为有些用户对复数不感兴趣，甚至根本不知道它们是什么。它们宁愿 math.sqrt(-1) 引发异常，也不想返回一个复数。 另请注意，被 cmath 定义的函数始终会返回一个复数，尽管答案可以表示为一个实数（在这种情况下，复数的虚数部分为零）。

关于分歧点的注释：它们是沿着给定函数无法连续的曲线。它们是许多复杂函数的必要特征。假设您需要使用复杂函数进行计算，您将了解分歧点。请参阅几乎所有关于复杂变量的（不太基本）的书来进行启发。关于分歧点数值目的的正确选择信息，应提供以下良好参考：

参见

Kahan, W: Branch cuts for complex elementary functions; or, Much ado about nothing's sign bit. In Iserles, A., and Powell, M. (eds.), The state of the art in numerical analysis. Clarendon Press (1987) pp165—211.