一点理论

前面提到，functor 的概念来自于范畴学，并满足一些定律。我们先来探索这些实用的定律。

// identity
map(id) === id;
// composition
compose(map(f), map(g)) === map(compose(f, g));

同一律很简单，但是也很重要。因为这些定律都是可运行的代码，所以我们完全可以在我们自己的 functor 上试验它们，验证它们是否成立。

var idLaw1 = map(id);
var idLaw2 = id;
idLaw1(Container.of(2));
//=> Container(2)
idLaw2(Container.of(2));
//=> Container(2)

看到没，它们是相等的。接下来看一看组合。

var compLaw1 = compose(map(concat(" world")), map(concat(" cruel")));
var compLaw2 = map(compose(concat(" world"), concat(" cruel")));
compLaw1(Container.of("Goodbye"));
//=> Container('Goodbye cruel world')
compLaw2(Container.of("Goodbye"));
//=> Container('Goodbye cruel world')

在范畴学中，functor 接受一个范畴的对象和态射（morphism），然后把它们映射（map）到另一个范畴里去。根据定义，这个新范畴一定会有一个单位元（identity），也一定能够组合态射；我们无须验证这一点，前面提到的定律保证这些东西会在映射后得到保留。

可能我们关于范畴的定义还是有点模糊。你可以把范畴想象成一个有着多个对象的网络，对象之间靠态射连接。那么 functor 可以把一个范畴映射到另外一个，而且不会破坏原有的网络。如果一个对象 a 属于源范畴 C，那么通过 functor F 把 a 映射到目标范畴 D 上之后，就可以使用 F a 来指代 a 对象（把这些字母拼起来是什么？！）。可能看图会更容易理解：

比如，Maybe 就把类型和函数的范畴映射到这样一个范畴：即每个对象都有可能不存在，每个态射都有空值检查的范畴。这个结果在代码中的实现方式是用 map 包裹每一个函数，用 functor 包裹每一个类型。这样就能保证每个普通的类型和函数都能在新环境下继续使用组合。从技术上讲，代码中的 functor 实际上是把范畴映射到了一个包含类型和函数的子范畴（sub category）上，使得这些 functor 成为了一种新的特殊的 endofunctor。但出于本书的目的，我们认为它就是一个不同的范畴。

可以用一张图来表示这种态射及其对象的映射：

这张图除了能表示态射借助 functor F 完成从一个范畴到另一个范畴的映射之外，我们发现它还符合交换律，也就是说，顺着箭头的方向往前，形成的每一个路径都指向同一个结果。不同的路径意味着不同的行为，但最终都会得到同一个数据类型。这种形式化给了我们原则性的方式去思考代码——无须分析和评估每一个单独的场景，只管可以大胆地应用公式即可。来看一个具体的例子。

//  topRoute :: String -> Maybe(String)
var topRoute = compose(Maybe.of, reverse);
//  bottomRoute :: String -> Maybe(String)
var bottomRoute = compose(map(reverse), Maybe.of);
topRoute("hi");
// Maybe("ih")
bottomRoute("hi");
// Maybe("ih")

或者看图：

根据所有 functor 都有的特性，我们可以立即理解代码，重构代码。

functor 也能嵌套使用：

var nested = Task.of([Right.of("pillows"), Left.of("no sleep for you")]);
map(map(map(toUpperCase)), nested);
// Task([Right("PILLOWS"), Left("no sleep for you")])

nested 是一个将来的数组，数组的元素有可能是程序抛出的错误。我们使用 map 剥开每一层的嵌套，然后对数组的元素调用传递进去的函数。可以看到，这中间没有回调、if/else 语句和 for 循环，只有一个明确的上下文。的确，我们必须要 map(map(map(f))) 才能最终运行函数。不想这么做的话，可以组合 functor。是的，你没听错：

var Compose = function(f_g_x){
  this.getCompose = f_g_x;
}
Compose.prototype.map = function(f){
  return new Compose(map(map(f), this.getCompose));
}
var tmd = Task.of(Maybe.of("Rock over London"))
var ctmd = new Compose(tmd);
map(concat(", rock on, Chicago"), ctmd);
// Compose(Task(Maybe("Rock over London, rock on, Chicago")))
ctmd.getCompose;
// Task(Maybe("Rock over London, rock on, Chicago"))

看，只有一个 map。functor 组合是符合结合律的，而且之前我们定义的 Container 实际上是一个叫 Identity 的 functor。identity 和可结合的组合也能产生一个范畴，这个特殊的范畴的对象是其他范畴，态射是 functor。这实在太伤脑筋了，所以我们不会深入这个问题，但是赞叹一下这种模式的结构性含义，或者它的简单的抽象之美也是好的。