4. 归并排序

插入排序算法采取增量式（Incremental）的策略解决问题，每次添一个元素到已排序的子序列中，逐渐将整个数组排序完毕，它的时间复杂度是O(n2)。下面介绍另一种典型的排序算法－－归并排序，它采取分而治之（Divide-and-Conquer）的策略，时间复杂度是Θ(nlgn)。归并排序的步骤如下：

  1. Divide: 把长度为n的输入序列分成两个长度为n/2的子序列。

  2. Conquer: 对这两个子序列分别采用归并排序。

  3. Combine: 将两个排序好的子序列合并成一个最终的排序序列。

在描述归并排序的步骤时又调用了归并排序本身，可见这是一个递归的过程。

例 11.2. 归并排序

  1. #include <stdio.h>
  2.  
  3. #define LEN 8
  4. int a[LEN] = { 5, 2, 4, 7, 1, 3, 2, 6 };
  5.  
  6. void merge(int start, int mid, int end)
  7. {
  8.     int n1 = mid - start + 1;
  9.     int n2 = end - mid;
  10.     int left[n1], right[n2];
  11.     int i, j, k;
  12.  
  13.     for (i = 0; i < n1; i++) /* left holds a[start..mid] */
  14.         left[i] = a[start+i];
  15.     for (j = 0; j < n2; j++) /* right holds a[mid+1..end] */
  16.         right[j] = a[mid+1+j];
  17.  
  18.     i = j = 0;
  19.     k = start;
  20.     while (i < n1 && j < n2)
  21.         if (left[i] < right[j])
  22.             a[k++] = left[i++];
  23.         else
  24.             a[k++] = right[j++];
  25.  
  26.     while (i < n1) /* left[] is not exhausted */
  27.         a[k++] = left[i++];
  28.     while (j < n2) /* right[] is not exhausted */
  29.         a[k++] = right[j++];
  30. }
  31.  
  32. void sort(int start, int end)
  33. {
  34.     int mid;
  35.     if (start < end) {
  36.         mid = (start + end) / 2;
  37.         printf("sort (%d-%d, %d-%d) %d %d %d %d %d %d %d %d\n", 
  38.                start, mid, mid+1, end, 
  39.                a[0], a[1], a[2], a[3], a[4], a[5], a[6], a[7]);
  40.         sort(start, mid);
  41.         sort(mid+1, end);
  42.         merge(start, mid, end);
  43.         printf("merge (%d-%d, %d-%d) to %d %d %d %d %d %d %d %d\n", 
  44.                start, mid, mid+1, end, 
  45.                a[0], a[1], a[2], a[3], a[4], a[5], a[6], a[7]);
  46.     }
  47. }
  48.  
  49. int main(void)
  50. {
  51.     sort(0, LEN-1);
  52.     return 0;
  53. }

执行结果是：

  1. sort (0-3, 4-7) 5 2 4 7 1 3 2 6
  2. sort (0-1, 2-3) 5 2 4 7 1 3 2 6
  3. sort (0-0, 1-1) 5 2 4 7 1 3 2 6
  4. merge (0-0, 1-1) to 2 5 4 7 1 3 2 6
  5. sort (2-2, 3-3) 2 5 4 7 1 3 2 6
  6. merge (2-2, 3-3) to 2 5 4 7 1 3 2 6
  7. merge 0-1, 2-3) to 2 4 5 7 1 3 2 6
  8. sort (4-5, 6-7) 2 4 5 7 1 3 2 6
  9. sort (4-4, 5-5) 2 4 5 7 1 3 2 6
  10. merge (4-4, 5-5) to 2 4 5 7 1 3 2 6
  11. sort (6-6, 7-7) 2 4 5 7 1 3 2 6
  12. merge (6-6, 7-7) to 2 4 5 7 1 3 2 6
  13. merge (4-5, 6-7) to 2 4 5 7 1 2 3 6
  14. merge (0-3, 4-7) to 1 2 2 3 4 5 6 7

sort函数把a[start..end]平均分成两个子序列，分别是a[start..mid]和a[mid+1..end]，对这两个子序列分别递归调用sort函数进行排序，然后调用merge函数将排好序的两个子序列合并起来，由于两个子序列都已经排好序了，合并的过程很简单，每次循环取两个子序列中最小的元素进行比较，将较小的元素取出放到最终的排序序列中，如果其中一个子序列的元素已取完，就把另一个子序列剩下的元素都放到最终的排序序列中。为了便于理解程序，我在sort函数开头和结尾插了打印语句，可以看出调用过程是这样的：

图 11.4. 归并排序调用过程

归并排序调用过程

图中S表示sort函数，M表示merge函数，整个控制流程沿虚线所示的方向调用和返回。由于sort函数递归调用了自己两次，所以各函数之间的调用关系呈树状结构。画这个图只是为了清楚地展现归并排序的过程，读者在理解递归函数时一定不要全部展开来看，而是要抓住Base Case和递推关系来理解。我们分析一下归并排序的时间复杂度，以下分析出自[算法导论]。

首先分析merge函数的时间复杂度。在merge函数中演示了C99的新特性－－可变长数组，当然也可以避免使用这一特性，比如把left和right都按最大长度LEN分配。不管用哪种办法，定义数组并分配存储空间的执行时间都可以看作常数，与数组的长度无关，常数用Θ-notation记作Θ(1)。设子序列a[start..mid]的长度为n1，子序列[mid+1..end]的长度为n2，a[start..end]的总长度为n=n1+n2，则前两个for循环的执行时间是Θ(n1+n2)，也就是Θ(n)，后面三个for循环合在一起看，每走一次循环就会在最终的排序序列中确定一个元素，最终的排序序列共有n个元素，所以执行时间也是Θ(n)。两个Θ(n)再加上若干常数项，merge函数总的执行时间仍是Θ(n)，其中n=end-start+1。

然后分析sort函数的时间复杂度，当输入长度n=1，也就是start==end时，if条件不成立，执行时间为常数Θ(1)，当输入长度n>1时：

总的执行时间 = 2 × 输入长度为n/2的sort函数的执行时间 + merge函数的执行时间Θ(n)

设输入长度为n的sort函数的执行时间为T(n)，综上所述：

4. 归并排序 - 图2

这是一个递推公式（Recurrence），我们需要消去等号右侧的T(n)，把T(n)写成n的函数。其实符合一定条件的Recurrence的展开有数学公式可以套，这里我们略去严格的数学证明，只是从直观上看一下这个递推公式的结果。当n=1时可以设T(1)=c1，当n>1时可以设T(n)=2T(n/2)+c2n，我们取c1和c2中较大的一个设为c，把原来的公式改为：

4. 归并排序 - 图3

这样计算出的结果应该是T(n)的上界。下面我们把T(n/2)展开成2T(n/4)+cn/2（下图中的(c)），然后再把T(n/4)进一步展开，直到最后全部变成T(1)=c（下图中的(d)）：

4. 归并排序 - 图4

把图(d)中所有的项加起来就是总的执行时间。这是一个树状结构，每一层的和都是cn，共有lgn+1层，因此总的执行时间是cnlgn+cn，相比nlgn来说，cn项可以忽略，因此T(n)的上界是Θ(nlgn)。

如果先前取c1和c2中较小的一个设为c，计算出的结果应该是T(n)的下界，然而推导过程一样，结果也是Θ(nlgn)。既然T(n)的上下界都是Θ(nlgn)，显然T(n)就是Θ(nlgn)。

和插入排序的平均情况相比归并排序更快一些，虽然merge函数的步骤较多，引入了较大的常数、系数和低次项，但是对于较大的输入长度n，这些都不是主要因素，归并排序的时间复杂度是Θ(nlgn)，而插入排序的平均情况是Θ(n2)，这就决定了归并排序是更快的算法。但是不是任何情况下归并排序都优于插入排序呢？哪些情况适用插入排序而不适用归并排序？留给读者思考。

习题

1、快速排序是另外一种采用分而治之策略的排序算法，在平均情况下的时间复杂度也是Θ(nlgn)，但比归并排序有更小的时间常数。它的基本思想是这样的：

  1. int partition(int start, int end)
  2. {
  3.     从a[start..end]中选取一个pivot元素（比如选a[start]为pivot）;
  4.     在一个循环中移动a[start..end]的数据，将a[start..end]分成两半，
  5.     使a[start..mid-1]比pivot元素小，a[mid+1..end]比pivot元素大，而a[mid]就是pivot元素;
  6.     return mid;
  7. }
  8.  
  9. void quicksort(int start, int end)
  10. {
  11.     int mid;
  12.     if (end > start) {
  13.         mid = partition(start, end);
  14.         quicksort(start, mid-1);
  15.         quicksort(mid+1, end);
  16.     }
  17. }

请补完partition函数，这个函数有多种写法，请选择时间常数尽可能小的实现方法。想想快速排序在最好和最坏情况下的时间复杂度是多少？快速排序在平均情况下的时间复杂度分析起来比较复杂，有兴趣的读者可以参考[算法导论]。