递归函数

在函数内部，可以调用其他函数。如果一个函数在内部调用自身本身，这个函数就是递归函数。

举个例子，我们来计算阶乘n! = 1 x 2 x 3 x … x n，用函数fact(n)表示，可以看出：

fact(n) = n! = 1 x 2 x 3 x … x (n-1) x n = (n-1)! x n = fact(n-1) x n

所以，fact(n)可以表示为n x fact(n-1)，只有n=1时需要特殊处理。

于是，fact(n)用递归的方式写出来就是：

  1. def fact(n):
  2.     if n==1:
  3.         return 1
  4.     return n * fact(n - 1)

上面就是一个递归函数。可以试试：

  1. >>> fact(1)
  2. 1
  3. >>> fact(5)
  4. 120
  5. >>> fact(100)
  6. 93326215443944152681699238856266700490715968264381621468592963895217599993229915608941463976156518286253697920827223758251185210916864000000000000000000000000

如果我们计算fact(5)，可以根据函数定义看到计算过程如下：

  1. ===> fact(5)
  2. ===> 5 * fact(4)
  3. ===> 5 * (4 * fact(3))
  4. ===> 5 * (4 * (3 * fact(2)))
  5. ===> 5 * (4 * (3 * (2 * fact(1))))
  6. ===> 5 * (4 * (3 * (2 * 1)))
  7. ===> 5 * (4 * (3 * 2))
  8. ===> 5 * (4 * 6)
  9. ===> 5 * 24
  10. ===> 120

递归函数的优点是定义简单，逻辑清晰。理论上，所有的递归函数都可以写成循环的方式，但循环的逻辑不如递归清晰。

使用递归函数需要注意防止栈溢出。在计算机中，函数调用是通过栈（stack）这种数据结构实现的，每当进入一个函数调用，栈就会加一层栈帧，每当函数返回，栈就会减一层栈帧。由于栈的大小不是无限的，所以，递归调用的次数过多，会导致栈溢出。可以试试fact(1000)：

  1. >>> fact(1000)
  2. Traceback (most recent call last):
  3.   File "<stdin>", line 1, in <module>
  4.   File "<stdin>", line 4, in fact
  5.   ...
  6.   File "<stdin>", line 4, in fact
  7. RuntimeError: maximum recursion depth exceeded in comparison

解决递归调用栈溢出的方法是通过尾递归优化，事实上尾递归和循环的效果是一样的，所以，把循环看成是一种特殊的尾递归函数也是可以的。

尾递归是指，在函数返回的时候，调用自身本身，并且，return语句不能包含表达式。这样，编译器或者解释器就可以把尾递归做优化，使递归本身无论调用多少次，都只占用一个栈帧，不会出现栈溢出的情况。

上面的fact(n)函数由于return n * fact(n - 1)引入了乘法表达式，所以就不是尾递归了。要改成尾递归方式，需要多一点代码，主要是要把每一步的乘积传入到递归函数中：

  1. def fact(n):
  2.     return fact_iter(n, 1)
  4. def fact_iter(num, product):
  5.     if num == 1:
  6.         return product
  7.     return fact_iter(num - 1, num * product)

可以看到，return fact_iter(num - 1, num product)仅返回递归函数本身，num - 1和num product在函数调用前就会被计算，不影响函数调用。

fact(5)对应的fact_iter(5, 1)的调用如下：

  1. ===> fact_iter(5, 1)
  2. ===> fact_iter(4, 5)
  3. ===> fact_iter(3, 20)
  4. ===> fact_iter(2, 60)
  5. ===> fact_iter(1, 120)
  6. ===> 120

尾递归调用时，如果做了优化，栈不会增长，因此，无论多少次调用也不会导致栈溢出。

遗憾的是，大多数编程语言没有针对尾递归做优化，Python解释器也没有做优化，所以，即使把上面的fact(n)函数改成尾递归方式，也会导致栈溢出。

小结

使用递归函数的优点是逻辑简单清晰，缺点是过深的调用会导致栈溢出。

针对尾递归优化的语言可以通过尾递归防止栈溢出。尾递归事实上和循环是等价的，没有循环语句的编程语言只能通过尾递归实现循环。

Python标准的解释器没有针对尾递归做优化，任何递归函数都存在栈溢出的问题。

练习

汉诺塔的移动可以用递归函数非常简单地实现。

请编写move(n, a, b, c)函数，它接收参数n，表示3个柱子A、B、C中第1个柱子A的盘子数量，然后打印出把所有盘子从A借助B移动到C的方法，例如：

  1. def move(n, a, b, c):
  3.     pass
  5. # 期待输出:
  6. # A --> C
  7. # A --> B
  8. # C --> B
  9. # A --> C
  10. # B --> A
  11. # B --> C
  12. # A --> C
  13. move(3, 'A', 'B', 'C')

参考源码

recur.py

原文: https://wizardforcel.gitbooks.io/liaoxuefeng/content/py3/21.html