遞迴

你好，遞迴！

Recursion - 图1

前面的章節中我們簡要談了一下遞迴。而在本章，我們會深入地瞭解到它為何在 Haskell 中是如此重要，能夠以遞迴思想寫出簡潔優雅的程式碼。

如果你還不知道什麼是遞迴，就讀這個句子。哈哈！開個玩笑而已！遞迴實際上是定義函數以呼叫自身的方式。在數學定義中，遞迴隨處可見，如斐波那契數列 （fibonacci）。它先是定義兩個非遞迴的數：F(0)=0,F(1)=1，表示斐波那契數列的前兩個數為 0 和 1。然後就是對其他自然數，其斐波那契數就是它前面兩個數字的和，即 F(N)=F(N-1)+F(N-2)。這樣一來，F(3) 就是 F(2)+F(1)，進一步便是 (F(1)+F(0))+F(1)。已經下探到了前面定義的非遞迴斐波那契數，可以放心地說 F(3) 就是 2 了。在遞迴定義中聲明的一兩個非遞迴的值（如 F(0) 和 F(1)） 也可以稱作邊界條件，這對遞迴函數的正確求值至關重要。要是前面沒有定義 F(0) 和 F(1) 的話，它下探到 0 之後就會進一步到負數，你就永遠都得不到結果了。一不留神它就算到了 F(-2000)=F(-2001)+F(-2002)，並且永遠都算不到頭！

遞迴在 Haskell 中非常重要。命令式語言要求你提供求解的步驟，Haskell 則傾向于讓你提供問題的描述。這便是 Haskell 沒有 while 或 for 循環的原因，遞迴是我們的替代方案。

實作 Maximum

maximum 函數取一組可排序的 List（屬於 Ord Typeclass） 做參數，並回傳其中的最大值。想想，在命令式風格中這一函數該怎麼實現。很可能你會設一個變數來存儲當前的最大值，然後用循環遍歷該 List，若存在比這個值更大的元素，則修改變數為這一元素的值。到最後，變數的值就是運算結果。唔！描述如此簡單的算法還頗費了點口舌呢！

現在看看遞迴的思路是如何：我們先定下一個邊界條件，即處理單個元素的 List 時，回傳該元素。如果該 List 的頭部大於尾部的最大值，我們就可以假定較長的 List 的最大值就是它的頭部。而尾部若存在比它更大的元素，它就是尾部的最大值。就這麼簡單！現在，我們在 Haskell 中實現它

  1. maximum' :: (Ord a) => [a] -> a  
  2. maximum' [] = error "maximum of empty list"  
  3. maximum' [x] = x  
  4. maximum' (x:xs)   
  5.     | x > maxTail = x  
  6.     | otherwise = maxTail  
  7.     where maxTail = maximum' xs

如你所見，模式匹配與遞迴簡直就是天造地設！大多數命令式語言中都沒有模式匹配，於是你就得造一堆 if-else 來測試邊界條件。而在這裡，我們僅需要使用模式將其表示出來。第一個模式說，如果該 List 為空，崩潰！就該這樣，一個空 List 的最大值能是啥？我不知道。第二個模式也表示一個邊緣條件，它說， 如果這個 List 僅包含單個元素，就回傳該元素的值。

現在是第三個模式，執行動作的地方。 通過模式匹配，可以取得一個 List 的頭部和尾部。這在使用遞迴處理 List 時是十分常見的。出於習慣，我們用個 where 語句來表示 maxTail 作為該 List 中尾部的最大值，然後檢查頭部是否大於尾部的最大值。若是，回傳頭部；若非，回傳尾部的最大值。

我們取個 List [2,5,1] 做例子來看看它的工作原理。當呼叫 maximum' 處理它時，前兩個模式不會被匹配，而第三個模式匹配了它並將其分為 2 與 [5,1]。 where 子句再取 [5,1] 的最大值。於是再次與第三個模式匹配，並將 [5,1] 分割為 5 和 [1]。繼續，where 子句取 [1] 的最大值，這時終於到了邊緣條件！回傳 1。進一步，將 5 與 [1] 中的最大值做比較，易得 5，現在我們就得到了 [5,1] 的最大值。再進一步，將 2 與 [5,1] 中的最大值相比較，可得 5 更大，最終得 5。

改用 max 函數會使程式碼更加清晰。如果你還記得，max 函數取兩個值做參數並回傳其中較大的值。如下便是用 max 函數重寫的 maximun'

  1. maximum' :: (Ord a) => [a] -> a  
  2. maximum' [] = error "maximum of empty list"  
  3. maximum' [x] = x  
  4. maximum' (x:xs) = max x (maximum' xs)

太漂亮了！一個 List 的最大值就是它的首個元素與它尾部中最大值相比較所得的結果，簡明扼要。

Recursion - 图2

來看幾個遞迴函數

現在我們已經瞭解了遞迴的思路,接下來就使用遞迴來實現幾個函數. 先實現下 replicate 函數, 它取一個 Int 值和一個元素做參數, 回傳一個包含多個重複元素的 List, 如 replicate 3 5 回傳 [5,5,5]. 考慮一下, 我覺得它的邊界條件應該是負數. 如果要 replicate 重複某元素零次, 那就是空 List. 負數也是同樣, 不靠譜.

  1. replicate' :: (Num i, Ord i) => i -> a -> [a]  
  2. replicate' n x  
  3.     | n <= 0    = []  
  4.     | otherwise = x:replicate' (n-1) x

在這裡我們使用了 guard 而非模式匹配, 是因為這裡做的是布林判斷. 如果 n 小於 0 就回傳一個空 List, 否則, 回傳以 x 作首個元素並後接重複 n-1 次 x 的 List. 最後, (n-1) 的那部分就會令函數抵達邊緣條件.

  1. *Note*: Num 不是 Ord 的子集, 表示數字不一定得拘泥于排序, 這就是在做加減法比較時要將 Num 與 Ord 型別約束區別開來的原因.

接下來實現 take 函數, 它可以從一個 List 取出一定數量的元素. 如 take 3 [5,4,3,2,1], 得 [5,4,3]. 若要取零或負數個的話就會得到一個空 List. 同樣, 若是從一個空 List中取值, 它會得到一個空 List. 注意, 這兒有兩個邊界條件, 寫出來:

  1. take' :: (Num i, Ord i) => i -> [a] -> [a]  
  2. take' n _  
  3.     | n <= 0   = []  
  4. take' _ []     = []  
  5. take' n (x:xs) = x : take' (n-1) xs

Recursion - 图3

首個模式辨認若為 0 或負數, 回傳空 List. 同時注意這裡用了一個 guard 卻沒有指定 otherwise 部分, 這就表示 n 若大於 0, 會轉入下一模式. 第二個模式指明了若試圖從一個空 List 中取值, 則回傳空 List. 第三個模式將 List 分割為頭部和尾部, 然後表明從一個 List 中取多個元素等同於令 x 作頭部後接從尾部取 n-1 個元素所得的 List. 假如我們要從 [4,3,2,1] 中取 3 個元素, 試着從紙上寫出它的推導過程

reverse 函數簡單地反轉一個 List, 動腦筋想一下它的邊界條件! 該怎樣呢? 想想…是空 List! 空 List 的反轉結果還是它自己. Okay, 接下來該怎麼辦? 好的, 你猜的出來. 若將一個 List 分割為頭部與尾部, 那它反轉的結果就是反轉後的尾部與頭部相連所得的 List. 

  1. reverse' :: [a] -> [a]  
  2. reverse' [] = []  
  3. reverse' (x:xs) = reverse' xs ++ [x]

繼續下去!

Haskell 支持無限 List，所以我們的遞迴就不必添加邊界條件。這樣一來，它可以對某值計算個沒完, 也可以產生一個無限的資料結構，如無限 List。而無限 List 的好處就在於我們可以在任意位置將它斷開.

repeat 函數取一個元素作參數, 回傳一個僅包含該元素的無限 List. 它的遞迴實現簡單的很, 看:

  1. repeat' :: a -> [a]  
  2. repeat' x = x:repeat' x

呼叫 repeat 3 會得到一個以 3 為頭部並無限數量的 3 為尾部的 List, 可以說 repeat 3 運行起來就是 3:repeat 3 , 然後 3:3:3:3 等等. 若執行 repeat 3, 那它的運算永遠都不會停止。而 take 5 (repeat 3) 就可以得到 5 個 3, 與 replicate 5 3 差不多.

zip 取兩個 List 作參數並將其捆在一起。zip [1,2,3] [2,3] 回傳 [(1,2),(2,3)], 它會把較長的 List 從中間斷開, 以匹配較短的 List. 用 zip 處理一個 List 與空 List 又會怎樣? 嗯, 會得一個空 List, 這便是我們的限制條件, 由於 zip 取兩個參數, 所以要有兩個邊緣條件

  1. zip' :: [a] -> [b] -> [(a,b)]  
  2. zip' _ [] = []  
  3. zip' [] _ = []  
  4. zip' (x:xs) (y:ys) = (x,y):zip' xs ys

前兩個模式表示兩個 List 中若存在空 List, 則回傳空 List. 第三個模式表示將兩個 List 捆綁的行為, 即將其頭部配對並後跟捆綁的尾部. 用 zip 處理 [1,2,3] 與 ['a','b'] 的話, 就會在 [3] 與 [] 時觸及邊界條件, 得到 (1,'a'):(2,'b'):[] 的結果,與 [(1,'a'),(2,'b')] 等價.

再實現一個標準庫函數 — elem! 它取一個元素與一個 List 作參數, 並檢測該元素是否包含于此 List. 而邊緣條件就與大多數情況相同, 空 List. 大家都知道空 List 中不包含任何元素, 便不必再做任何判斷

  1. elem' :: (Eq a) => a -> [a] -> Bool  
  2. elem' a [] = False  
  3. elem' a (x:xs)  
  4.     | a == x    = True  
  5.     | otherwise = a `elem'` xs

這很簡單明瞭。若頭部不是該元素, 就檢測尾部, 若為空 List 就回傳 False.

“快速”排序

Recursion - 图5

假定我們有一個可排序的 List, 其中元素的型別為 Ord Typeclass 的成員. 現在我們要給它排序! 有個排序算法非常的酷, 就是快速排序 (quick sort), 睿智的排序方法. 儘管它在命令式語言中也不過 10 行, 但在 Haskell 下邊要更短, 更漂亮, 儼然已經成了 Haskell 的招牌了. 嗯, 我們在這裡也實現一下. 或許會顯得很俗氣, 因為每個人都用它來展示 Haskell 究竟有多優雅!

它的型別聲明應為 quicksort :: (Ord a) => [a] -> [a], 沒啥奇怪的. 邊界條件呢? 如料，空 List。排過序的空 List 還是空 List。接下來便是算法的定義：排過序的 List 就是令所有小於等於頭部的元素在先(它們已經排過了序), 後跟大於頭部的元素(它們同樣已經拍過了序)。 注意定義中有兩次排序，所以就得遞迴兩次！同時也需要注意算法定義的動詞為”是”什麼而非”做”這個, “做”那個, 再”做”那個…這便是函數式編程之美！如何才能從 List 中取得比頭部小的那些元素呢？List Comprehension。好，動手寫出這個函數！

  1. quicksort :: (Ord a) => [a] -> [a]  
  2. quicksort [] = []  
  3. quicksort (x:xs) =  
  4.   let smallerSorted = quicksort [a | a <- xs, a <= x] 
  5.       biggerSorted = quicksort [a | a <- xs, a > x]  
  6.   in smallerSorted ++ [x] ++ biggerSorted

小小的測試一下, 看看結果是否正確~

  1. ghci> quicksort [10,2,5,3,1,6,7,4,2,3,4,8,9]  
  2. [1,2,2,3,3,4,4,5,6,7,8,9,10]  
  3. ghci> quicksort "the quick brown fox jumps over the lazy dog"  
  4. " abcdeeefghhijklmnoooopqrrsttuuvwxyz"

booyah! 如我所說的一樣! 若給 [5,1,9,4,6,7,3] 排序，這個算法就會取出它的頭部，即 5。 將其置於分別比它大和比它小的兩個 List 中間，得 [1,4,3] ++ [5] ++ [9,6,7], 我們便知道了當排序結束之時，5會在第四位，因為有3個數比它小每，也有三個數比它大。好的，接着排 [1,4,3] 與 [9,6,7], 結果就出來了！對它們的排序也是使用同樣的函數，將它們分成許多小塊，最終到達臨界條件，即空 List 經排序依然為空，有個插圖：

橙色的部分表示已定位並不再移動的元素。從左到右看，便是一個排過序的 List。在這裡我們將所有元素與 head 作比較，而實際上就快速排序算法而言，選擇任意元素都是可以的。被選擇的元素就被稱作錨 （pivot），以方便模式匹配。小於錨的元素都在淺綠的部分，大於錨都在深綠部分，這個黃黃的坡就表示了快速排序的執行方式：

Recursion - 图6

用遞迴來思考

我們已經寫了不少遞迴了，也許你已經發覺了其中的固定模式：先定義一個邊界條件，再定義個函數，讓它從一堆元素中取一個並做點事情後，把餘下的元素重新交給這個函數。 這一模式對 List、Tree 等資料結構都是適用的。例如，sum 函數就是一個 List 頭部與其尾部的 sum 的和。一個 List 的積便是該 List 的頭與其尾部的積相乘的積，一個 List 的長度就是 1 與其尾部長度的和. 等等

Recursion - 图7

再者就是邊界條件。一般而言，邊界條件就是為避免程序出錯而設置的保護措施，處理 List 時的邊界條件大部分都是空 List，而處理 Tree 時的邊界條件就是沒有子元素的節點。

處理數字時也與之相似。函數一般都得接受一個值並修改它。早些時候我們編寫過一個計算 Factorial 的函數，它便是某數與它減一的 Factorial 數的積。讓它乘以零就不行了， Factorial 數又都是非負數，邊界條件便可以定為 1，即乘法的單位元。 因為任何數乘以 1 的結果還是這個數。而在 sum 中，加法的單位元就是 0。在快速排序中，邊界條件和單位元都是空 List，因為任一 List 與空 List 相加的結果依然是原 List。

使用遞迴來解決問題時應當先考慮遞迴會在什麼樣的條件下不可用, 然後再找出它的邊界條件和單位元, 考慮參數應該在何時切開(如對 List 使用模式匹配), 以及在何處執行遞迴.