5.6 数值类型的提升

Julia 中有一个辅助系统，叫做类型提升系统。它可以将数学运算符操作的多个值统一地转换为某个公共类型的值，以便运算的顺利进行。我们下面就简要地说明一下这个辅助系统的应用和作用。关于公共类型的解释也会在其中。

在 Julia 中，数学运算符其实也是用函数实现的。就拿用于二元加的运算符+来说，它的一个衍生方法的定义是这样的：

  1. +(x::Float64, y::Float64) = add_float(x, y)

这个定义向我们揭示了两个细节。第一个细节就是我刚刚说的，数学运算符是由函数实现的。不仅如此，针对每一类可操作的数值，Julia 都定义了相应的衍生方法。第二个细节是，数学运算符操作的多个值必须是同一个类型的。你可能会有疑问，那为什么我们编写的像1 + 2.0这样的运算依然可以顺利进行呢？实际上，这恰恰得益于 Julia 的类型提升系统。我们来看该系统中的一个定义：

  1. +(x::Number, y::Number) = +(promote(x,y)...)

这个衍生方法的两个参数的类型都是Number。这就意味着，只要参与二元加的操作数都是数值且它们的类型不同，该运算就会被分派到这个方法上。如果两个数值的类型相同，那么二元加运算就会被分派到像前一个定义那样的方法上。

请注意，这个衍生方法的定义中有一个对promote函数的调用。这个函数其实就代表了类型提升系统的核心算法。我们可以在 REPL 环境中输入表达式promote(1, 2.0)并回车。其结果如下：

  1. julia> promote(1, 2.0)
  2. (1.0, 2.0)
  4. julia> typeof(ans)
  5. Tuple{Float64,Float64}
  7. julia>

我们都知道，在 64 位的计算机系统中，字面量1的类型一定是Int64，而字面量2.0的类型肯定是Float64。由此，在那个调用promote函数后得到的元组中，包含了转换自参数值1的、Float64类型的数值1.0，以及保持原样的、Float64类型的数值2.0。这正是类型提升系统所起到的作用。它一般会先找到能够无损地表示输入值的某个公共类型，然后把这些值都转换为此公共类型的值（通常通过调用convert函数实现），最后输出这些类型统一的值。

在一般情况下，如果参数值列表中只包含了整数和有理数，那么promote函数就会把这些参数值都转换为有理数。倘若参数值列表中存在浮点数（但不存在复数），那么这个函数就会把这些参数值都转换为适当类型的浮点数。一旦参数值列表中有复数，那该函数就一定会返回适当类型的复数的元组。另一方面，如果这些参数值的类型只是在宽度上所有不同（如Int64和Int8、Float16和Float32等等），那么promote函数就会把它们都转换为宽度较大的那个类型的值。

我们倒是不用死记硬背这些规则。因为有一个名叫promote_type的函数，它可以接受若干个类型字面量并返回它们的公共类型。例如：

  1. julia> promote_type(Int64, Float64)
  2. Float64
  4. julia> promote_type(Int64, Int8)
  5. Int64
  7. julia> promote_type(Float16, Float32)
  8. Float32
  10. julia>

请注意，我们一直在说的是多个类型的公共类型，而不是多个类型的共同超类型。这两者之间并没有任何关联。如果你确实想得到两个类型的共同超类型，那么可以调用typejoin函数。例如，调用表达式typejoin(Int, Float64)的求值结果会是Real。

好了，不论细节如何，经过前文所述的处理之后，这些数值就可以交给普通的运算符实现方法进行操作了。就像这样：

  1. julia> +(promote(1, 2.0)...)
  2. 3.0
  4. julia>

这里对+函数的调用会被分派到我们在前面展示的那个针对Float64类型的衍生方法上。

解释一下，符号...的作用是，把紧挨在它左边的那个值中的所有元素值（如元组(1.0, 2.0)中的1.0和2.0）都平铺开来，并让这些元素值都成为传入外层函数（如+函数）的独立参数值。所以，调用表达式+((1.0, 2.0)...)就相当于+(1.0, 2.0)。

至于什么是元组，你现在可以简单地把它理解为由圆括号包裹的、可承载若干值的容器。函数在同时返回多个值的时候通常就会用这种数据结构呈现。在后面讲参数化类型的那一章里有对元组的详细说明。

除了以上讲的这些，Julia 的类型提升系统还有一个很重要的作用，那就是：让我们可以编写自己的类型提升规则，以自定义数学运算的部分行为，尤其是在操作数的类型不同的时候。例如，若我们想让整数和浮点数的运算结果变成BigFloat类型的值，则可以这样做：

  1. julia> import Base.promote_rule
  3. julia> promote_rule(::Type{Int64}, ::Type{Float64}) = BigFloat
  4. promote_rule (generic function with 137 methods)
  6. julia>

第一行代码是一条导入语句。简单来说，我们在编写某个函数的衍生方法的时候必须先导入这个函数。第二行代码就是我编写的衍生方法。由于与之相关的一些背景知识我们还没有讲到，所以你看不太懂也没有关系。在这里，你只要关注这行代码中的Int64、Float64和BigFloat就可以了。前两个都代表了操作数的类型，而后一个则代表了它们的公共类型。这正是在定义操作数类型和公共类型的对应关系。

现在，我们再次执行之前的代码：

  1. julia> promote(1, 2.0)
  2. (1.0, 2.0)
  4. julia> typeof(ans)
  5. Tuple{BigFloat,BigFloat}
  7. julia>

可以看到，这次调用promote函数后得到的元组包含了两个BigFloat类型的值。这就说明我们刚刚编写的类型提升规则已经生效了。当然，修改 Julia 内置的类型提升规则是比较危险的。因为这可能会改变已有代码的基本行为，并且会明显地降低程序的稳定性，所以还是要谨慎为之。但对于我们自己搭建的数值类型体系来讲，这一特性的潜力是非常可观的。

总之，Julia 的类型提升系统辅助维护着数学运算的具体实现。其中有着大量的默认规则，并确保着常规运算的有效性。但同时，它也允许我们自定义类型提升的规则，以满足自己的特殊需要。