算法复杂度及渐进符号

一、算法复杂度

首先每个程序运行过程中，都要占用一定的计算机资源，比如内存，磁盘等，这些是空间，计算过程中需要判断，循环执行某些逻辑，周而反复，这些是时间。

那么一个算法有多好，多快，怎么衡量一个算法的好坏？所以，计算机科学在算法分析过程中，提出了算法复杂度理论，这套理论可以量化算法的效率，以此作为标准，方便我们能衡量到底选择哪一种算法。

复杂度有两个维度：时间和空间。

我们说，一个实现了某算法的程序：

  1. 如果计算的速度越快，那么这个算法时间复杂度越低。
  2. 如果占用的计算资源越少，那么空间复杂度越低。

我们要选择复杂度低的算法，衡量好空间和时间的消耗，选出适合特定场景的算法。

这两个复杂度维度的量化过程都是一样的，所以我们这里主要介绍时间复杂度。

二、算法规模

我们要计算公式 1 + 2 + 3 + ... + 100，那么按照最直观的算法来写：

  1. package main
  3. import "fmt"
  5. func sum(n int) int {
  6.     total := 0
  7.     // 从1加到N, 1+2+3+4+5+..+N
  8.     for i := 1; i <= n; i++ {
  9.         total = total + i
  10.     }
  11.     return total
  12. }
  14. func main() {
  15.     fmt.Println(sum(100))
  16. }

当 n = 10 时就等于我们要计算的公式。这个算法要循环 n-1 次，当 n 很小时，计算很快，但当 n 无限大的时候，计算很慢。

所以，算法衡量要衡量的是在不同 问题规模 n 下，算法的速度。

在这里，因为要循环计算 n-1 次，而当 n 无限大时，常数项基本忽略不计，所以这个算法的时间复杂度，我们用 O(n) 来表示。

我们有另外一种计算方式：

  1. func sum2(n int) int {
  2.     total := ((1 + n) * n) / 2
  3.     return total
  4. }

这次算法只需执行 1 次，所以这个算法的时间复杂度是 O(1)。可以看出，时间复杂度为 O(1) 的算法优于复杂度为 O(n) 的算法。

当然，还有指数级别的比如之前的汉诺塔算法，对数级别的，阶乘级别的复杂度，如 O(2^n)，O(n!)，O(logn) 等。

算法的优先级排列如下，一般排在上面的要优于排在下面的：

  1. 常数复杂度：O(1)
  2. 对数复杂度：O(logn)
  3. 一次方复杂度：O(n)
  4. 一次方乘对数复杂度：O(nlogn)
  5. 乘方复杂度：O(n^2)，O(n^3)
  6. 指数复杂度：O(2^n)
  7. 阶乘复杂度：O(n!)
  8. 无限大指数复杂度：O(n^n)

三、渐进符号

如何量化一个复杂度，到底有多复杂，计算机科学抽象出了几个复杂度渐进符号。

渐进符号如下：

O，ο，Θ，Ω，ω

分别读作：Omicron（大欧），omicron（小欧），Theta（西塔），Omega（大欧米伽），omega（小欧米伽）。

3.1. 渐进符号：Θ

假设算法 A 的运行时间表达式：

  1. T(n)= 5 * n^3 + 4 * n^2

如果问题规模 n 足够大，那么低次方的项将无足轻重，运行时间主要取决于高次方的第一项：5*n^3。

随着 n 的增大，第一项的 5*n^3 中的常数 5 也无足轻重了。

所以算法 A 的运行时间 T(n) 约等于 n^3。记为：

  1. T(n) = Θ(n^3)

Θ 的数学含义:

设 f(n) 和 g(n) 是定义域 n 为自然数集合的函数，两个函数同阶，也就是当 n 无穷大时，f(n)/g(n) 等于某个大于0的常数 c。

也可以说，存在正常量 c1，c2 和 n0，对于所有 n >= n0，有 0 <= c1 * g(n) <= f(n) <= c2 * g(n)。

那么可以记 f(n) = Θ(g(n))，g(n) 是 f(n) 的渐进紧确界。

3.2. 渐进符号：O

O 的数学含义:

设 f(n) 和 g(n) 是定义域 n 为自然数集合的函数， f(n) 函数的阶不高于 g(n) 函数的阶。

也可以说，存在正常量 c 和 n0，对于所有 n >= n0，有 0 <= f(n) <= c * g(n)。

那么可以记 f(n) = O(g(n))。g(n) 是 f(n) 的渐进上界。

3.3. 渐进符号：Ω

Ω 的数学含义:

设 f(n) 和 g(n) 是定义域 n 为自然数集合的函数， f(n) 函数的阶不低于 g(n) 函数的阶。

也可以说，存在正常量 c 和 n0，对于所有 n >= n0，有 0 <= cg(n) <= f(n)。

那么可以记 f(n) = Ω(g(n))。g(n) 是 f(n) 的渐进下界。

3.4. 渐进分析

上面的定义很复杂，我们可以来看图：

degree.png

当 n 值超过某个值时，f(n) 被 g(n) 两条线夹在中间，那么 g(n) 就是渐进紧确界。

如果 g(n) 的线在上面，就是渐进上界。

如果 g(n) 线在下面，就是渐进下界。

我们一般会评估一个算法的渐进上界 O，因为这表示算法的最坏情况，这个上界可以十分不准确，但我们一般会评估得足够准确，比如：

  1. 设 f(n) = 5 * n^3 + 4 * n^2，我们要求渐进上界。

那么：

  1. f(n) = O(n^3)，g(n) = n^3
  2. f(n) = O(n^4)，g(n) = n^4

两个 g(n) 都是上界，因为令 c = 5 时都存在：0 <= f(n) <= c * g(n))。

我们会取乘方更小的那个，因为这个界更逼近 f(n) 本身，所以我们一般说 f(n) = O(n^3)，算法的复杂度为大欧 n 的三次方，表示最坏情况。

同理，渐进下界 Ω 刚好与渐进上界相反，表示最好情况。比如还是这个假设：

  1. 设 f(n) = 5 * n^3 + 4 * n^2，我们要求渐进下界。

那么：

  1. f(n) = Ω(n^3)，g(n) = n^3
  2. f(n) = Ω(n^2)，g(n) = n^2

两个 g(n) 都是下界，因为令 c =5 时都存在：0 <= cg(n) <= f(n)。

我们准确评估的时候，要取乘方更大的那个，因为这个界更逼近 f(n) 本身，所以我们一般说 f(n) = Ω(n^3)，算法的复杂度为大欧米伽 n 的三次方，表示最好情况。

我们发现当 f(n) = Ω(n^3) = O(n^3) 时，其实 f(n) = Θ(n)。

另外两个渐进符号 ο 和 ω 一般很少使用，指不那么紧密的上下界。

也就是评估的时候，不那么准确去评估，在评估最坏情况的时候使劲地往坏了评估，评估最好情况则使劲往好的评估，但是它不能刚刚好，比如上面的结果：

  1. f(n) = O(n^3)，g(n) = n^3
  2. f(n) = O(n^4)，g(n) = n^4
  3. f(n) = Ω(n^3)，g(n) = n^3
  4. f(n) = Ω(n^2)，g(n) = n^2

我们可以说：

  1. f(n) = ο(n^4)，g(n) = n^4  往高阶的评估，不能同阶
  2. f(n) = ω(n^2)，g(n) = n^2  往低阶的评估，不能同阶

四、总结

记号 含义 通俗理解
Θ 紧确界 相当于”=”
O 上界 相当于”<=”
ο 非紧的上界 相当于”<”
Ω 下界 相当于”>=”
ω 非紧的下界 相当于”>”

我们一般用 O 渐进上界来评估一个算法的时间复杂度，表示逼近的最坏情况。其他渐进符合基本不怎么使用。