快速排序

快速排序是一种分治策略的排序算法，是由英国计算机科学家 Tony Hoare 发明的， 该算法被发布在 1961 年的 Communications of the ACM 国际计算机学会月刊。

注： ACM = Association for Computing Machinery，国际计算机学会，世界性的计算机从业员专业组织，创立于1947年，是世界上第一个科学性及教育性计算机学会。

本质上来看，快速排序是对冒泡排序的一种改进，属于交换类的排序算法。

一、算法介绍

快速排序通过一趟排序将要排序的数据分割成独立的两部分，其中一部分的所有数据都比另外一部分的所有数据都要小，然后再按此方法对这两部分数据分别进行快速排序，整个排序过程可以递归进行，以此达到整个数据变成有序序列。

步骤如下：

  1. 先从数列中取出一个数作为基准数。一般取第一个数。
  2. 分区过程，将比这个数大的数全放到它的右边，小于或等于它的数全放到它的左边。
  3. 再对左右区间重复第二步，直到各区间只有一个数。

举一个例子：5 9 1 6 8 14 6 49 25 4 6 3。

  1. 一般取第一个数 5 作为基准，从它左边和最后一个数使用[]进行标志，
  3. 如果左边的数比基准数大，那么该数要往右边扔，也就是两个[]数交换，这样大于它的数就在右边了，然后右边[]数左移，否则左边[]数右移。
  5. 5 [9] 1 6 8 14 6 49 25 4 6 [3]  因为 9 > 5，两个[]交换位置后，右边[]左移
  6. 5 [3] 1 6 8 14 6 49 25 4 [6] 9  因为 3 !> 5，两个[]不需要交换，左边[]右移
  7. 5 3 [1] 6 8 14 6 49 25 4 [6] 9  因为 1 !> 5，两个[]不需要交换，左边[]右移
  8. 5 3 1 [6] 8 14 6 49 25 4 [6] 9  因为 6 > 5，两个[]交换位置后，右边[]左移
  9. 5 3 1 [6] 8 14 6 49 25 [4] 6 9  因为 6 > 5，两个[]交换位置后，右边[]左移
  10. 5 3 1 [4] 8 14 6 49 [25] 6 6 9  因为 4 !> 5，两个[]不需要交换，左边[]右移
  11. 5 3 1 4 [8] 14 6 49 [25] 6 6 9  因为 8 > 5，两个[]交换位置后，右边[]左移
  12. 5 3 1 4 [25] 14 6 [49] 8 6 6 9  因为 25 > 5，两个[]交换位置后，右边[]左移
  13. 5 3 1 4 [49] 14 [6] 25 8 6 6 9  因为 49 > 5，两个[]交换位置后，右边[]左移
  14. 5 3 1 4 [6] [14] 49 25 8 6 6 9  因为 6 > 5，两个[]交换位置后，右边[]左移
  15. 5 3 1 4 [14] 6 49 25 8 6 6 9  两个[]已经汇总，因为 14 > 5，所以 5 和[]之前的数 4 交换位置
  16. 第一轮切分结果：4 3 1 5 14 6 49 25 8 6 6 9  
  18. 现在第一轮快速排序已经将数列分成两个部分：
  20. 4 3 1 和 14 6 49 25 8 6 6 9
  22. 左边的数列都小于 5，右边的数列都大于 5。
  24. 使用递归分别对两个数列进行快速排序。

quickSort_1

注：

  • 黄色是基准数
  • 橙色是已经排序完成的元素
  • 紫色是大于基准数的元素
  • 绿色是小于基准数的元素
  • 红色是正在与基准数进行比较的元素

快速排序主要靠基准数进行切分，将数列分成两部分，一部分比基准数都小，一部分比基准数都大。

1.1 时间复杂度

在最好情况下，每一轮都能平均切分，每一轮遍历比较元素 n 次就可以把数列分成两部分，每一轮的时间复杂度都是：O(n)。因为问题规模每次被折半，折半的数列继续递归进行切分，也就是总的时间复杂度计算公式为： T(n) = 2*T(n/2) + O(n)。按照主定理公式计算，我们可以知道时间复杂度为：O(nlogn)，当然我们可以来具体计算一下：

  1. 我们来分析最好情况，每一轮切分，遍历比较元素的次数为 n
  3. T(n) = 2*T(n/2) + n
  4. T(n/2) = 2*T(n/4) + n/2
  5. T(n/4) = 2*T(n/8) + n/4
  6. T(n/8) = 2*T(n/16) + n/8
  7. ...
  8. T(4) = 2*T(2) + 4
  9. T(2) = 2*T(1) + 2
  10. T(1) = 1
  12. 进行合并也就是：
  14. T(n) = 2*T(n/2) + n
  15.      = 2^2*T(n/4)+ n + n
  16.      = 2^3*T(n/8) + n + n + n
  17.      = 2^4*T(n/16) + n + n + n + n
  18.      = ...
  19.      = 2^logn*T(1) + logn * n
  20.      = 2^logn + nlogn
  21.      = n + nlogn
  23. 因为当问题规模 n 趋于无穷大时 nlogn 比 n 大，所以 T(n) = O(nlogn)。
  25. 最好时间复杂度为：O(nlogn)。
  27. 注：^ 表示乘方。

最差的情况下，每次都不能平均地切分，每次切分都因为基准数是最大的或者最小的，不能分成两个数列，这样时间复杂度变为了 T(n) = T(n-1) + O(n)，按照主定理计算可以知道时间复杂度为：O(n^2)，我们可以来实际计算一下：

  1. 我们来分析最差情况，每一轮切分，遍历比较元素的次数为 n
  3. T(n) = T(n-1) + n
  4.      = T(n-2) + n-1 + n
  5.      = T(n-3) + n-2 + n-1 + n
  6.      = ...
  7.      = T(1) + 2 +3 + ... + n-2 + n-1 + n
  8.      = O(n^2)
  10. 最差时间复杂度为：O(n^2)。
  12. 注：^ 表示乘方。

根据熵的概念，数量越大，随机性越高，越自发无序，所以待排序数据规模非常大时，出现最差情况的情形较少。在综合情况下，快速排序的平均时间复杂度为：O(nlogn)。对比之前介绍的排序算法，快速排序比那些动不动就是平方级别的初级排序算法更佳。

1.2 空间复杂度

快速排序使用原地排序，存储空间复杂度为：O(1)。而因为递归栈的影响，递归的程序栈开辟的层数范围在 logn ~ n，所以递归栈的空间复杂度为：O(logn) ~ log(n)，最坏为：log(n)，当元素较多时，程序栈可能溢出。通过改进算法，使用伪尾递归进行优化，递归栈的空间复杂度可以减小到 O(logn)，可以见下面算法优化。

快速排序是不稳定的，因为切分过程中进行了交换，相同值的元素可能发生位置变化。

1.3 切分优化

切分的结果极大地影响快速排序的性能，比如每次切分的时候选择的基数数都是数组中最大或者最小的，会出现最坏情况，为了避免切分不均匀情况的发生，有几种方法改进：

  1. 随机基准数选择：每次进行快速排序切分时，先将数列随机打乱，再进行切分，这样随机加了个震荡，减少不均匀的情况。当然，也可以随机选择一个基准数，而不是选第一个数。
  2. 中位数选择：每次取数列头部，中部，尾部三个数，取三个数的中位数为基准数进行切分。

方法 1 相对好，而方法 2 引入了额外的比较操作，一般情况下我们可以随机选择一个基准数。

从一个数组中随机选择一个数，或者取中位数都比较容易实现，我们在此就不实现了，避免造成心智负担，下文代码实现都取第一个数为基准数。

二、算法实现

这是最普通的一种实现。

  1. package main
  3. import "fmt"
  5. // QuickSort 普通快速排序
  6. func QuickSort(array []int, begin, end int) {
  7.     if begin < end {
  8.         // 进行切分
  9.         loc := partition(array, begin, end)
  10.         // 对左部分进行快排
  11.         QuickSort(array, begin, loc-1)
  12.         // 对右部分进行快排
  13.         QuickSort(array, loc+1, end)
  14.     }
  15. }
  17. // 切分函数，并返回切分元素的下标
  18. func partition(array []int, begin, end int) int {
  19.     i := begin + 1 // 将array[begin]作为基准数，因此从array[begin+1]开始与基准数比较！
  20.     j := end       // array[end]是数组的最后一位
  22.     // 没重合之前
  23.     for i < j {
  24.         if array[i] > array[begin] {
  25.             array[i], array[j] = array[j], array[i] // 交换
  26.             j--
  27.         } else {
  28.             i++
  29.         }
  30.     }
  32.     /* 跳出 for 循环后，i = j。
  33.      * 此时数组被分割成两个部分   -->  array[begin+1] ~ array[i-1] < array[begin]
  34.      *                        -->  array[i+1] ~ array[end] > array[begin]
  35.      * 这个时候将数组array分成两个部分，再将array[i]与array[begin]进行比较，决定array[i]的位置。
  36.      * 最后将array[i]与array[begin]交换，进行两个分割部分的排序！以此类推，直到最后i = j不满足条件就退出！
  37.      */
  38.     if array[i] >= array[begin] { // 这里必须要取等“>=”，否则数组元素由相同的值组成时，会出现错误！
  39.         i--
  40.     }
  42.     array[begin], array[i] = array[i], array[begin]
  43.     return i
  44. }
  46. func main() {
  47.     list := []int{5}
  48.     QuickSort(list, 0, len(list)-1)
  49.     fmt.Println(list)
  51.     list1 := []int{5, 9}
  52.     QuickSort(list1, 0, len(list1)-1)
  53.     fmt.Println(list1)
  55.     list2 := []int{5, 9, 1}
  56.     QuickSort(list2, 0, len(list2)-1)
  57.     fmt.Println(list2)
  59.     list3 := []int{5, 9, 1, 6, 8, 14, 6, 49, 25, 4, 6, 3}
  60.     QuickSort(list3, 0, len(list3)-1)
  61.     fmt.Println(list3)
  62. }

输出：

  1. [5]
  2. [5 9]
  3. [1 5 9]
  4. [1 3 4 5 6 6 6 8 9 14 25 49]

示例图：

快速排序 - 图2

快速排序，每一次切分都维护两个下标，进行推进，最后将数列分成两部分。

三、算法改进

快速排序可以继续进行算法改进。

  1. 在小规模数组的情况下，直接插入排序的效率最好，当快速排序递归部分进入小数组范围，可以切换成直接插入排序。
  2. 排序数列可能存在大量重复值，使用三向切分快速排序，将数组分成三部分，大于基准数，等于基准数，小于基准数，这个时候需要维护三个下标。
  3. 使用伪尾递归减少程序栈空间占用，使得栈空间复杂度从 O(logn) ~ log(n) 变为：O(logn)。

3.1 改进：小规模数组使用直接插入排序

在小规模数组的情况下，直接插入排序的效率最好，当快速排序递归部分进入小数组范围，可以切换成直接插入排序。

  1. // InsertSort 改进：当数组规模小时使用直接插入排序
  2. func InsertSort(list []int) {
  3.     n := len(list)
  4.     // 进行 N-1 轮迭代
  5.     for i := 1; i <= n-1; i++ {
  6.         deal := list[i] // 待排序的数
  7.         j := i - 1      // 待排序的数左边的第一个数的位置
  9.         // 如果第一次比较，比左边的已排好序的第一个数小，那么进入处理
  10.         if deal < list[j] {
  11.             // 一直往左边找，比待排序大的数都往后挪，腾空位给待排序插入
  12.             for ; j >= 0 && deal < list[j]; j-- {
  13.                 list[j+1] = list[j] // 某数后移，给待排序留空位
  14.             }
  15.             list[j+1] = deal // 结束了，待排序的数插入空位
  16.         }
  17.     }
  18. }
  20. func QuickSort1(array []int, begin, end int) {
  21.     if begin < end {
  22.         // 当数组小于 4 时使用直接插入排序
  23.         if end-begin <= 4 {
  24.             InsertSort(array[begin : end+1])
  25.             return
  26.         }
  28.         // 进行切分
  29.         loc := partition(array, begin, end)
  30.         // 对左部分进行快排
  31.         QuickSort1(array, begin, loc-1)
  32.         // 对右部分进行快排
  33.         QuickSort1(array, loc+1, end)
  34.     }
  35. }

直接插入排序在小规模数组下效率极好，我们只需将 end-begin <= 4 的递归部分换成直接插入排序，这部分表示小数组排序。

3.2 改进：三向切分

排序数列可能存在大量重复值，使用三向切分快速排序，将数组分成三部分，大于基准数，等于基准数，小于基准数，这个时候需要维护三个下标。

  1. package main
  3. import "fmt"
  5. // QuickSort2 三切分的快速排序
  6. func QuickSort2(array []int, begin, end int) {
  7.     if begin < end {
  8.         // 三向切分函数，返回左边和右边下标
  9.         lt, gt := partition3(array, begin, end)
  10.         // 从lt到gt的部分是三切分的中间数列
  11.         // 左边三向快排
  12.         QuickSort2(array, begin, lt-1)
  13.         // 右边三向快排
  14.         QuickSort2(array, gt+1, end)
  15.     }
  16. }
  18. // 切分函数，并返回切分元素的下标
  19. func partition3(array []int, begin, end int) (int, int) {
  20.     lt := begin       // 左下标从第一位开始
  21.     gt := end         // 右下标是数组的最后一位
  22.     i := begin + 1    // 中间下标，从第二位开始
  23.     v := array[begin] // 基准数
  25.     // 以中间坐标为准
  26.     for i <= gt {
  27.         if array[i] > v { // 大于基准数，那么交换，右指针左移
  28.             array[i], array[gt] = array[gt], array[i]
  29.             gt--
  30.         } else if array[i] < v { // 小于基准数，那么交换，左指针右移
  31.             array[i], array[lt] = array[lt], array[i]
  32.             lt++
  33.             i++
  34.         } else {
  35.             i++
  36.         }
  37.     }
  39.     return lt, gt
  40. }

演示：

  1. 数列：4 8 2 4 4 4 7 9，基准数为 4
  3. [4] [8] 2 4 4 4 7 [9]  从中间[]开始：8 > 4，中右[]进行交换，右边[]左移
  4. [4] [9] 2 4 4 4 [7] 8  从中间[]开始：9 > 4，中右[]进行交换，右边[]左移
  5. [4] [7] 2 4 4 [4] 9 8  从中间[]开始：7 > 4，中右[]进行交换，右边[]左移
  6. [4] [4] 2 4 [4] 7 9 8  从中间[]开始：4 == 4，不需要交换，中间[]右移
  7. [4] 4 [2] 4 [4] 7 9 8  从中间[]开始：2 < 4，中左[]需要交换，中间和左边[]右移
  8. 2 [4] 4 [4] [4] 7 9 8  从中间[]开始：4 == 4，不需要交换，中间[]右移
  9. 2 [4] 4 4 [[4]] 7 9 8  从中间[]开始：4 == 4，不需要交换，中间[]右移，因为已经重叠了
  10. 第一轮结果：2 4 4 4 4 7 9 8
  12. 分成三个数列：
  14. 2
  15. 4 4 4 4 (元素相同的会聚集在中间数列)
  16. 7 9 8
  18. 接着对第一个和最后一个数列进行递归即可。

示例图：

快速排序 - 图3

三切分，把小于基准数的扔到左边，大于基准数的扔到右边，相同的元素会进行聚集。

如果存在大量重复元素，排序速度将极大提高，将会是线性时间，因为相同的元素将会聚集在中间，这些元素不再进入下一个递归迭代。

三向切分主要来自荷兰国旗三色问题，该问题由 Dijkstra 提出。

快速排序 - 图4

假设有一条绳子，上面有红、白、蓝三种颜色的旗子，起初绳子上的旗子颜色并没有顺序，您希望将之分类，并排列为蓝、白、红的顺序，要如何移动次数才会最少，注意您只能在绳子上进行这个动作，而且一次只能调换两个旗子。

可以看到，上面的解答相当于使用三向切分一次，只要我们将白色旗子的值设置为 100，蓝色的旗子值设置为 0，红色旗子值设置为 200，以 100 作为基准数，第一次三向切分后三种颜色的旗就排好了，因为 蓝(0)白(100)红(200)。

注：艾兹格·W·迪科斯彻(Edsger Wybe Dijkstra，1930年5月11日~2002年8月6日)，荷兰人，计算机科学家，曾获图灵奖。

3.3 改进：伪尾递归优化

使用伪尾递归减少程序栈空间占用，使得栈空间复杂度从 O(logn) ~ log(n) 变为：O(logn)。

  1. // 伪尾递归快速排序
  2. func QuickSort3(array []int, begin, end int) {
  3.     for begin < end {
  4.         // 进行切分
  5.         loc := partition(array, begin, end)
  7.         // 那边元素少先排哪边
  8.         if loc-begin < end-loc {
  9.             // 先排左边
  10.             QuickSort3(array, begin, loc-1)
  11.             begin = loc + 1
  12.         } else {
  13.             // 先排右边
  14.             QuickSort3(array, loc+1, end)
  15.             end = loc - 1
  16.         }
  17.     }
  18. }

很多人以为这样子是尾递归。其实这样的快排写法是伪装的尾递归，不是真正的尾递归，因为有 for 循环，不是直接 return QuickSort，递归还是不断地压栈，栈的层次仍然不断地增长。

但是，因为先让规模小的部分排序，栈的深度大大减少，程序栈最深不会超过 logn 层，这样堆栈最坏空间复杂度从 O(n) 降为 O(logn)。

这种优化也是一种很好的优化，因为栈的层数减少了，对于排序十亿个整数，也只要：log(100 0000 0000)=29.897，占用的堆栈层数最多 30 层，比不进行优化，可能出现的 O(n) 常数层好很多。

四、补充：非递归写法

非递归写法仅仅是将之前的递归栈转化为自己维持的手工栈。

  1. // 非递归快速排序
  2. func QuickSort5(array []int) {
  4.     // 人工栈
  5.     helpStack := new(LinkStack)
  7.     // 第一次初始化栈，推入下标0，len(array)-1，表示第一次对全数组范围切分
  8.     helpStack.Push(len(array) - 1)
  9.     helpStack.Push(0)
  11.     // 栈非空证明存在未排序的部分
  12.     for !helpStack.IsEmpty() {
  13.         // 出栈，对begin-end范围进行切分排序
  14.         begin := helpStack.Pop() // 范围区间左边
  15.         end := helpStack.Pop()   // 范围
  17.         // 进行切分
  18.         loc := partition(array, begin, end)
  20.         // 右边范围入栈
  21.         if loc+1 < end {
  22.             helpStack.Push(end)
  23.             helpStack.Push(loc + 1)
  24.         }
  26.         // 左边返回入栈
  27.         if begin < loc-1 {
  28.             helpStack.Push(loc - 1)
  29.             helpStack.Push(begin)
  30.         }
  31.     }
  32. }

本来需要进行递归的数组范围 begin,end，不使用递归，依次推入自己的人工栈，然后循环对人工栈进行处理。

我们可以看到没有递归，程序栈空间复杂度变为了：O(1)，但额外的存储空间产生了。

辅助人工栈结构 helpStack 占用了额外的空间，存储空间由原地排序的 O(1) 变成了 O(logn) ~ log(n)。

我们可以参考上面的伪尾递归版本，继续优化非递归版本，先让短一点的范围入栈，这样存储复杂度可以变为：O(logn)。如：

  1. // 非递归快速排序优化
  2. func QuickSort6(array []int) {
  4.     // 人工栈
  5.     helpStack := new(LinkStack)
  7.     // 第一次初始化栈，推入下标0，len(array)-1，表示第一次对全数组范围切分
  8.     helpStack.Push(len(array) - 1)
  9.     helpStack.Push(0)
  11.     // 栈非空证明存在未排序的部分
  12.     for !helpStack.IsEmpty() {
  13.         // 出栈，对begin-end范围进行切分排序
  14.         begin := helpStack.Pop() // 范围区间左边
  15.         end := helpStack.Pop()   // 范围
  17.         // 进行切分
  18.         loc := partition(array, begin, end)
  20.         // 切分后右边范围大小
  21.         rSize := -1
  22.         // 切分后左边范围大小
  23.         lSize := -1
  25.         // 右边范围入栈
  26.         if loc+1 < end {
  27.             rSize = end - (loc + 1)
  28.         }
  30.         // 左边返回入栈
  31.         if begin < loc-1 {
  32.             lSize = loc - 1 - begin
  33.         }
  35.         // 两个范围，让范围小的先入栈，减少人工栈空间
  36.         if rSize != -1 && lSize != -1 {
  37.             if lSize > rSize {
  38.                 helpStack.Push(end)
  39.                 helpStack.Push(loc + 1)
  40.                 helpStack.Push(loc - 1)
  41.                 helpStack.Push(begin)
  42.             } else {
  43.                 helpStack.Push(loc - 1)
  44.                 helpStack.Push(begin)
  45.                 helpStack.Push(end)
  46.                 helpStack.Push(loc + 1)
  47.             }
  48.         } else {
  49.             if rSize != -1 {
  50.                 helpStack.Push(end)
  51.                 helpStack.Push(loc + 1)
  52.             }
  54.             if lSize != -1 {
  55.                 helpStack.Push(loc - 1)
  56.                 helpStack.Push(begin)
  57.             }
  58.         }
  59.     }
  60. }

完整的程序如下：

  1. package main
  3. import (
  4.     "fmt"
  5.     "sync"
  6. )
  8. // LinkStack 链表栈，后进先出
  9. type LinkStack struct {
  10.     root *LinkNode  // 链表起点
  11.     size int        // 栈的元素数量
  12.     lock sync.Mutex // 为了并发安全使用的锁
  13. }
  15. // LinkNode 链表节点
  16. type LinkNode struct {
  17.     Next  *LinkNode
  18.     Value int
  19. }
  21. // Push 入栈
  22. func (stack *LinkStack) Push(v int) {
  23.     stack.lock.Lock()
  24.     defer stack.lock.Unlock()
  26.     // 如果栈顶为空，那么增加节点
  27.     if stack.root == nil {
  28.         stack.root = new(LinkNode)
  29.         stack.root.Value = v
  30.     } else {
  31.         // 否则新元素插入链表的头部
  32.         // 原来的链表
  33.         preNode := stack.root
  35.         // 新节点
  36.         newNode := new(LinkNode)
  37.         newNode.Value = v
  39.         // 原来的链表链接到新元素后面
  40.         newNode.Next = preNode
  42.         // 将新节点放在头部
  43.         stack.root = newNode
  44.     }
  46.     // 栈中元素数量+1
  47.     stack.size = stack.size + 1
  48. }
  50. // Pop 出栈
  51. func (stack *LinkStack) Pop() int {
  52.     stack.lock.Lock()
  53.     defer stack.lock.Unlock()
  55.     // 栈中元素已空
  56.     if stack.size == 0 {
  57.         panic("empty")
  58.     }
  60.     // 顶部元素要出栈
  61.     topNode := stack.root
  62.     v := topNode.Value
  64.     // 将顶部元素的后继链接链上
  65.     stack.root = topNode.Next
  67.     // 栈中元素数量-1
  68.     stack.size = stack.size - 1
  70.     return v
  71. }
  73. // IsEmpty 栈是否为空
  74. func (stack *LinkStack) IsEmpty() bool {
  75.     return stack.size == 0
  76. }
  78. // QuickSort5 非递归快速排序
  79. func QuickSort5(array []int) {
  81.     // 人工栈
  82.     helpStack := new(LinkStack)
  84.     // 第一次初始化栈，推入下标0，len(array)-1，表示第一次对全数组范围切分
  85.     helpStack.Push(len(array) - 1)
  86.     helpStack.Push(0)
  88.     // 栈非空证明存在未排序的部分
  89.     for !helpStack.IsEmpty() {
  90.         // 出栈，对begin-end范围进行切分排序
  91.         begin := helpStack.Pop() // 范围区间左边
  92.         end := helpStack.Pop()   // 范围
  94.         // 进行切分
  95.         loc := partition(array, begin, end)
  97.         // 右边范围入栈
  98.         if loc+1 < end {
  99.             helpStack.Push(end)
  100.             helpStack.Push(loc + 1)
  101.         }
  103.         // 左边返回入栈
  104.         if begin < loc-1 {
  105.             helpStack.Push(loc - 1)
  106.             helpStack.Push(begin)
  107.         }
  108.     }
  109. }
  111. // QuickSort6 非递归快速排序优化
  112. func QuickSort6(array []int) {
  114.     // 人工栈
  115.     helpStack := new(LinkStack)
  117.     // 第一次初始化栈，推入下标0，len(array)-1，表示第一次对全数组范围切分
  118.     helpStack.Push(len(array) - 1)
  119.     helpStack.Push(0)
  121.     // 栈非空证明存在未排序的部分
  122.     for !helpStack.IsEmpty() {
  123.         // 出栈，对begin-end范围进行切分排序
  124.         begin := helpStack.Pop() // 范围区间左边
  125.         end := helpStack.Pop()   // 范围
  127.         // 进行切分
  128.         loc := partition(array, begin, end)
  130.         // 切分后右边范围大小
  131.         rSize := -1
  132.         // 切分后左边范围大小
  133.         lSize := -1
  135.         // 右边范围入栈
  136.         if loc+1 < end {
  137.             rSize = end - (loc + 1)
  138.         }
  140.         // 左边返回入栈
  141.         if begin < loc-1 {
  142.             lSize = loc - 1 - begin
  143.         }
  145.         // 两个范围，让范围小的先入栈，减少人工栈空间
  146.         if rSize != -1 && lSize != -1 {
  147.             if lSize > rSize {
  148.                 helpStack.Push(end)
  149.                 helpStack.Push(loc + 1)
  150.                 helpStack.Push(loc - 1)
  151.                 helpStack.Push(begin)
  152.             } else {
  153.                 helpStack.Push(loc - 1)
  154.                 helpStack.Push(begin)
  155.                 helpStack.Push(end)
  156.                 helpStack.Push(loc + 1)
  157.             }
  158.         } else {
  159.             if rSize != -1 {
  160.                 helpStack.Push(end)
  161.                 helpStack.Push(loc + 1)
  162.             }
  164.             if lSize != -1 {
  165.                 helpStack.Push(loc - 1)
  166.                 helpStack.Push(begin)
  167.             }
  168.         }
  169.     }
  170. }
  172. // 切分函数，并返回切分元素的下标
  173. func partition(array []int, begin, end int) int {
  174.     i := begin + 1 // 将array[begin]作为基准数，因此从array[begin+1]开始与基准数比较！
  175.     j := end       // array[end]是数组的最后一位
  177.     // 没重合之前
  178.     for i < j {
  179.         if array[i] > array[begin] {
  180.             array[i], array[j] = array[j], array[i] // 交换
  181.             j--
  182.         } else {
  183.             i++
  184.         }
  185.     }
  187.     /* 跳出 for 循环后，i = j。
  188.      * 此时数组被分割成两个部分   -->  array[begin+1] ~ array[i-1] < array[begin]
  189.      *                        -->  array[i+1] ~ array[end] > array[begin]
  190.      * 这个时候将数组array分成两个部分，再将array[i]与array[begin]进行比较，决定array[i]的位置。
  191.      * 最后将array[i]与array[begin]交换，进行两个分割部分的排序！以此类推，直到最后i = j不满足条件就退出！
  192.      */
  193.     if array[i] >= array[begin] { // 这里必须要取等“>=”，否则数组元素由相同的值组成时，会出现错误！
  194.         i--
  195.     }
  197.     array[begin], array[i] = array[i], array[begin]
  198.     return i
  199. }
  201. func main() {
  202.     list3 := []int{5, 9, 1, 6, 8, 14, 6, 49, 25, 4, 6, 3}
  203.     QuickSort5(list3)
  204.     fmt.Println(list3)
  206.     list4 := []int{5, 9, 1, 6, 8, 14, 6, 49, 25, 4, 6, 3}
  207.     QuickSort6(list4)
  208.     fmt.Println(list4)
  209. }

输出：

  1. [1 3 4 5 6 6 6 8 9 14 25 49]
  2. [1 3 4 5 6 6 6 8 9 14 25 49]

使用人工栈替代递归的程序栈，换汤不换药，速度并没有什么变化，但是代码可读性降低。

五、补充：内置库使用快速排序的原因

首先堆排序，归并排序最好最坏时间复杂度都是：O(nlogn)，而快速排序最坏的时间复杂度是：O(n^2)，但是很多编程语言内置的排序算法使用的仍然是快速排序，这是为什么？

  1. 这个问题有偏颇，选择排序算法要看具体的场景，Linux 内核用的排序算法就是堆排序，而 Java 对于数量比较多的复杂对象排序，内置排序使用的是归并排序，只是一般情况下，快速排序更快。
  2. 归并排序有两个稳定，第一个稳定是排序前后相同的元素位置不变，第二个稳定是，每次都是很平均地进行排序，读取数据也是顺序读取，能够利用存储器缓存的特征，比如从磁盘读取数据进行排序。因为排序过程需要占用额外的辅助数组空间，所以这部分有代价损耗，但是原地手摇的归并排序克服了这个缺陷。
  3. 复杂度中，大 O 有一个常数项被省略了，堆排序每次取最大的值之后，都需要进行节点翻转，重新恢复堆的特征，做了大量无用功，常数项比快速排序大，大部分情况下比快速排序慢很多。但是堆排序时间较稳定，不会出现快排最坏 O(n^2) 的情况，且省空间，不需要额外的存储空间和栈空间。
  4. 当待排序数量大于16000个元素时，使用自底向上的堆排序比快速排序还快，可见此：https://core.ac.uk/download/pdf/82350265.pdf。
  5. 快速排序最坏情况下复杂度高，主要在于切分不像归并排序一样平均，而是很依赖基准数的现在，我们通过改进，比如随机数，三切分等，这种最坏情况的概率极大的降低。大多数情况下，它并不会那么地坏，大多数快才是真的块。
  6. 归并排序和快速排序都是分治法，排序的数据都是相邻的，而堆排序比较的数可能跨越很大的范围，导致局部性命中率降低，不能利用现代存储器缓存的特征，加载数据过程会损失性能。

对稳定性有要求的，要求排序前后相同元素位置不变，可以使用归并排序，Java 中的复杂对象类型，要求排序前后位置不能发生变化，所以小规模数据下使用了直接插入排序，大规模数据下使用了归并排序。

对栈，存储空间有要求的可以使用堆排序，比如 Linux 内核栈小，快速排序占用程序栈太大了，使用快速排序可能栈溢出，所以使用了堆排序。

六、补充：Golang 内置排序库 sort

在 Golang 中，标准库 sort 中使用了多种排序算法，值得研究。

例子：

  1. package main
  3. import (
  4.     "fmt"
  5.     "sort"
  6. )
  8. func InnerSort() {
  9.     list := []struct {
  10.         Name string
  11.         Age  int
  12.     }{
  13.         {"A", 75},
  14.         {"B", 4},
  15.         {"C", 5},
  16.         {"D", 5},
  17.         {"E", 2},
  18.         {"F", 5},
  19.         {"G", 5},
  20.     }
  22.     sort.SliceStable(list, func(i, j int) bool { return list[i].Age < list[j].Age })
  23.     fmt.Println(list)
  25.     list2 := []struct {
  26.         Name string
  27.         Age  int
  28.     }{
  29.         {"A", 75},
  30.         {"B", 4},
  31.         {"C", 5},
  32.         {"D", 5},
  33.         {"E", 2},
  34.         {"F", 5},
  35.         {"G", 5},
  36.     }
  38.     sort.Slice(list2, func(i, j int) bool { return list2[i].Age < list2[j].Age })
  39.     fmt.Println(list2)
  40. }
  42. func main() {
  43.     InnerSort()
  44. }

输出：

  1. [{E 2} {B 4} {C 5} {D 5} {F 5} {G 5} {A 75}]
  2. [{E 2} {B 4} {G 5} {C 5} {D 5} {F 5} {A 75}]

其中 SliceStable 是稳定排序，使用了插入排序和归并排序：

  1. func SliceStable(slice interface{}, less func(i, j int) bool) {
  2.     rv := reflectValueOf(slice)
  3.     swap := reflectSwapper(slice)
  4.     stable_func(lessSwap{less, swap}, rv.Len())
  5. }
  7. func stable_func(data lessSwap, n int) {
  8.     blockSize := 20
  9.     a, b := 0, blockSize
  10.     for b <= n {
  11.         insertionSort_func(data, a, b)
  12.         a = b
  13.         b += blockSize
  14.     }
  15.     insertionSort_func(data, a, n)
  16.     for blockSize < n {
  17.         a, b = 0, 2*blockSize
  18.         for b <= n {
  19.             symMerge_func(data, a, a+blockSize, b)
  20.             a = b
  21.             b += 2 * blockSize
  22.         }
  23.         if m := a + blockSize; m < n {
  24.             symMerge_func(data, a, m, n)
  25.         }
  26.         blockSize *= 2
  27.     }
  28. }

会先按照 20 个元素的范围，对整个切片分段进行插入排序，因为小数组插入排序效率高。然后再对这些已排好序的小数组进行归并排序。其中归并排序还使用了原地排序，节约了辅助空间。

而 Slice 是一般的排序，不追求稳定排序，使用了快速排序:

  1. func Slice(slice interface{}, less func(i, j int) bool) {
  2.     rv := reflectValueOf(slice)
  3.     swap := reflectSwapper(slice)
  4.     length := rv.Len()
  5.     quickSort_func(lessSwap{less, swap}, 0, length, maxDepth(length))
  6. }
  8. func quickSort_func(data lessSwap, a, b, maxDepth int) {
  9.     for b-a > 12 {
  10.         if maxDepth == 0 {
  11.             heapSort_func(data, a, b)
  12.             return
  13.         }
  14.         maxDepth--
  15.         mlo, mhi := doPivot_func(data, a, b)
  16.         if mlo-a < b-mhi {
  17.             quickSort_func(data, a, mlo, maxDepth)
  18.             a = mhi
  19.         } else {
  20.             quickSort_func(data, mhi, b, maxDepth)
  21.             b = mlo
  22.         }
  23.     }
  24.     if b-a > 1 {
  25.         for i := a + 6; i < b; i++ {
  26.             if data.Less(i, i-6) {
  27.                 data.Swap(i, i-6)
  28.             }
  29.         }
  30.         insertionSort_func(data, a, b)
  31.     }
  32. }
  34. func doPivot_func(data lessSwap, lo, hi int) (midlo, midhi int) {
  35.     m := int(uint(lo+hi) >> 1)
  36.     if hi-lo > 40 {
  37.         s := (hi - lo) / 8
  38.         medianOfThree_func(data, lo, lo+s, lo+2*s)
  39.         medianOfThree_func(data, m, m-s, m+s)
  40.         medianOfThree_func(data, hi-1, hi-1-s, hi-1-2*s)
  41.     }
  42.     medianOfThree_func(data, lo, m, hi-1)
  43.     pivot := lo
  44.     a, c := lo+1, hi-1
  45.     for ; a < c && data.Less(a, pivot); a++ {
  46.     }
  47.     b := a
  48.     for {
  49.         for ; b < c && !data.Less(pivot, b); b++ {
  50.         }
  51.         for ; b < c && data.Less(pivot, c-1); c-- {
  52.         }
  53.         if b >= c {
  54.             break
  55.         }
  56.         data.Swap(b, c-1)
  57.         b++
  58.         c--
  59.     }
  60.     protect := hi-c < 5
  61.     if !protect && hi-c < (hi-lo)/4 {
  62.         dups := 0
  63.         if !data.Less(pivot, hi-1) {
  64.             data.Swap(c, hi-1)
  65.             c++
  66.             dups++
  67.         }
  68.         if !data.Less(b-1, pivot) {
  69.             b--
  70.             dups++
  71.         }
  72.         if !data.Less(m, pivot) {
  73.             data.Swap(m, b-1)
  74.             b--
  75.             dups++
  76.         }
  77.         protect = dups > 1
  78.     }
  79.     if protect {
  80.         for {
  81.             for ; a < b && !data.Less(b-1, pivot); b-- {
  82.             }
  83.             for ; a < b && data.Less(a, pivot); a++ {
  84.             }
  85.             if a >= b {
  86.                 break
  87.             }
  88.             data.Swap(a, b-1)
  89.             a++
  90.             b--
  91.         }
  92.     }
  93.     data.Swap(pivot, b-1)
  94.     return b - 1, c
  95. }

快速排序限制程序栈的层数为： 2 * ceil( log(n+1) )，当递归超过该层时表示程序栈过深，内部会转为堆排序。

上述快速排序还使用了三种优化，第一种是递归时小数组转为插入排序，第二种是使用了中位数基准数，第三种使用了三向切分。

附录

代码下载： https://github.com/hunterhug/goa.c/tree/master/code/sort/quicksort 。