归并排序

归并排序是一种分治策略的排序算法。它是一种比较特殊的排序算法，通过递归地先使每个子序列有序，再将两个有序的序列进行合并成一个有序的序列。

归并排序首先由著名的现代计算机之父 John_von_Neumann 在 1945 年发明，被用在了 EDVAC(一台美国早期电子计算机)，足足用墨水写了 23 页的排序程序。注：冯·诺依曼（John von Neumann，1903年12月28日-1957年2月8日），美籍匈牙利数学家、计算机科学家、物理学家，是20世纪最重要的数学家之一。

一、算法介绍

我们先介绍两个有序的数组合并成一个有序数组的操作。

  1. 先申请一个辅助数组，长度等于两个有序数组长度的和。
  2. 从两个有序数组的第一位开始，比较两个元素，哪个数组的元素更小，那么该元素添加进辅助数组，然后该数组的元素变更为下一位，继续重复这个操作，直至数组没有元素。
  3. 返回辅助数组。

举一个例子：

  1. 有序数组A：[3 8 9 11 13]
  2. 有序数组B：[1 5 8 10 17 19 20 23]
  3. [] 表示比较的范围。
  5. 因为 1 < 3，所以 1 加入辅助数组
  6. 有序数组A：[3 8 9 11 13]
  7. 有序数组B：1 [5 8 10 17 19 20 23] 
  8. 辅助数组：1
  10. 因为 3 < 5，所以 3 加入辅助数组
  11. 有序数组A：3 [8 9 11 13]
  12. 有序数组B：1 [5 8 10 17 19 20 23] 
  13. 辅助数组：1 3
  15. 因为 5 < 8，所以 5 加入辅助数组
  16. 有序数组A：3 [8 9 11 13]
  17. 有序数组B：1 5 [8 10 17 19 20 23] 
  18. 辅助数组：1 3 5
  20. 因为 8 == 8，所以 两个数都 加入辅助数组
  21. 有序数组A：3 8 [9 11 13]
  22. 有序数组B：1 5 8 [10 17 19 20 23] 
  23. 辅助数组：1 3 5 8 8
  25. 因为 9 < 10，所以 9 加入辅助数组
  26. 有序数组A：3 8 9 [11 13]
  27. 有序数组B：1 5 8 [10 17 19 20 23] 
  28. 辅助数组：1 3 5 8 8 9
  30. 因为 10 < 11，所以 10 加入辅助数组
  31. 有序数组A：3 8 9 [11 13]
  32. 有序数组B：1 5 8 10 [17 19 20 23] 
  33. 辅助数组：1 3 5 8 8 9 10
  35. 因为 11 < 17，所以 11 加入辅助数组
  36. 有序数组A：3 8 9 11 [13]
  37. 有序数组B：1 5 8 10 [17 19 20 23] 
  38. 辅助数组：1 3 5 8 8 9 10 11
  40. 因为 13 < 17，所以 13 加入辅助数组
  41. 有序数组A：3 8 9 11 13
  42. 有序数组B：1 5 8 10 [17 19 20 23] 
  43. 辅助数组：1 3 5 8 8 9 10 11 13
  45. 因为数组A已经没有比较元素，将数组B剩下的元素拼接在辅助数组后面。
  47. 结果：1 3 5 8 8 9 10 11 13 17 19 20 23

将两个有序数组进行合并，最多进行 n 次比较就可以生成一个新的有序数组，n 是两个数组长度较大的那个。

归并操作最坏的时间复杂度为：O(n)，其中 n 是较长数组的长度。

归并操作最好的时间复杂度为：O(n)，其中 n 是较短数组的长度。

正是利用这个特点，归并排序先排序较小的数组，再将有序的小数组合并形成更大有序的数组。

归并排序有两种递归做法，一种是自顶向下，一种是自底向上。

1.1. 自顶向下归并排序

从一个大数组开始，不断地往下切分，如图：

归并排序 - 图1

从上往下进行递归，直到切分的小数组无法切分了，然后不断地对这些有序数组进行合并。

每次都是一分为二，特别均匀，所以最差和最坏时间复杂度都一样。归并操作的时间复杂度为：O(n)，因此总的时间复杂度为：T(n)=2T(n/2)+O(n)，根据主定理公式可以知道时间复杂度为：O(nlogn)。我们可以自己计算一下：

  1. 归并排序，每次归并操作比较的次数为两个有序数组的长度： n/2
  3. T(n) = 2*T(n/2) + n/2
  4. T(n/2) = 2*T(n/4) + n/4
  5. T(n/4) = 2*T(n/8) + n/8
  6. T(n/8) = 2*T(n/16) + n/16
  7. ...
  8. T(4) = 2*T(2) + 4
  9. T(2) = 2*T(1) + 2
  10. T(1) = 1
  12. 进行合并也就是：
  14. T(n) = 2*T(n/2) + n/2
  15.      = 2^2*T(n/4)+ n/2 + n/2
  16.      = 2^3*T(n/8) + n/2 + n/2 + n/2
  17.      = 2^4*T(n/16) + n/2 + n/2 + n/2 + n/2
  18.      = ...
  19.      = 2^logn*T(1) + logn * n/2
  20.      = 2^logn + 1/2*nlogn
  21.      = n + 1/2*nlogn
  23. 因为当问题规模 n 趋于无穷大时 nlogn 比 n 大，所以 T(n) = O(nlogn)。
  25. 因此时间复杂度为：O(nlogn)。

因为不断地递归，程序栈层数会有 logn 层，所以递归栈的空间复杂度为：O(logn)，对于排序十亿个整数，也只要：log(100 0000 0000)=29.897，占用的堆栈层数最多 30 层忧。

1.2. 自底向上归并排序

从小数组开始排序，不断地合并形成更大的有序数组。

归并排序 - 图2

时间复杂度和自顶向上归并排序一样，也都是 O(nlogn)。

因为不需要使用递归，没有程序栈占用，因此递归栈的空间复杂度为：O(1)。

二、算法实现

自顶向下的归并排序递归实现：

  1. package main
  3. import "fmt"
  5. // 自顶向下归并排序，排序范围在 [begin,end) 的数组
  6. func MergeSort(array []int, begin int, end int) {
  7.     // 元素数量大于1时才进入递归
  8.     if end-begin > 1 {
  10.         // 将数组一分为二，分为 array[begin,mid) 和 array[mid,high)
  11.         mid := begin + (end-begin+1)/2
  13.         // 先将左边排序好
  14.         MergeSort(array, begin, mid)
  16.         // 再将右边排序好
  17.         MergeSort(array, mid, end)
  19.         // 两个有序数组进行合并
  20.         merge(array, begin, mid, end)
  21.     }
  22. }
  24. // 归并操作
  25. func merge(array []int, begin int, mid int, end int) {
  26.     // 申请额外的空间来合并两个有序数组，这两个数组是 array[begin,mid),array[mid,end)
  27.     leftSize := mid - begin         // 左边数组的长度
  28.     rightSize := end - mid          // 右边数组的长度
  29.     newSize := leftSize + rightSize // 辅助数组的长度
  30.     result := make([]int, 0, newSize)
  32.     l, r := 0, 0
  33.     for l < leftSize && r < rightSize {
  34.         lValue := array[begin+l] // 左边数组的元素
  35.         rValue := array[mid+r]   // 右边数组的元素
  36.         // 小的元素先放进辅助数组里
  37.         if lValue < rValue {
  38.             result = append(result, lValue)
  39.             l++
  40.         } else {
  41.             result = append(result, rValue)
  42.             r++
  43.         }
  44.     }
  46.     // 将剩下的元素追加到辅助数组后面
  47.     result = append(result, array[begin+l:mid]...)
  48.     result = append(result, array[mid+r:end]...)
  50.     // 将辅助数组的元素复制回原数组，这样该辅助空间就可以被释放掉
  51.     for i := 0; i < newSize; i++ {
  52.         array[begin+i] = result[i]
  53.     }
  54.     return
  55. }
  57. func main() {
  58.     list := []int{5}
  59.     MergeSort(list, 0, len(list))
  60.     fmt.Println(list)
  62.     list1 := []int{5, 9}
  63.     MergeSort(list1, 0, len(list1))
  64.     fmt.Println(list1)
  66.     list2 := []int{5, 9, 1, 6, 8, 14, 6, 49, 25, 4, 6, 3}
  67.     MergeSort(list2, 0, len(list2))
  68.     fmt.Println(list2)
  69. }

输出：

  1. [5]
  2. [5 9]
  3. [1 3 4 5 6 6 6 8 9 14 25 49]

自顶向下递归排序，我们可以看到每次合并都要申请一个辅助数组，然后合并完再赋值回原数组，这样每次合并后辅助数组的内存就可以释放掉，存储空间占用 n，而程序递归栈依旧是 logn 层。

自底向上的非递归实现：

  1. package main
  3. import "fmt"
  5. // 自底向上归并排序
  6. func MergeSort2(array []int, begin, end int) {
  8.     // 步数为1开始，step长度的数组表示一个有序的数组
  9.     step := 1
  11.     // 范围大于 step 的数组才可以进入归并
  12.     for end-begin > step {
  13.         // 从头到尾对数组进行归并操作
  14.         // step << 1 = 2 * step 表示偏移到后两个有序数组将它们进行归并
  15.         for i := begin; i < end; i += step << 1 {
  16.             var lo = i                // 第一个有序数组的上界
  17.             var mid = lo + step       // 第一个有序数组的下界，第二个有序数组的上界
  18.             var hi = lo + (step << 1) // 第二个有序数组的下界
  20.             // 不存在第二个数组，直接返回
  21.             if mid > end {
  22.                 return
  23.             }
  25.             // 第二个数组长度不够
  26.             if hi > end {
  27.                 hi = end
  28.             }
  30.             // 两个有序数组进行合并
  31.             merge(array, lo, mid, hi)
  32.         }
  34.         // 上面的 step 长度的两个数组都归并成一个数组了，现在步长翻倍
  35.         step <<= 1
  36.     }
  37. }
  39. // 归并操作
  40. func merge(array []int, begin int, mid int, end int) {
  41.     // 申请额外的空间来合并两个有序数组，这两个数组是 array[begin,mid),array[mid,end)
  42.     leftSize := mid - begin         // 左边数组的长度
  43.     rightSize := end - mid          // 右边数组的长度
  44.     newSize := leftSize + rightSize // 辅助数组的长度
  45.     result := make([]int, 0, newSize)
  47.     l, r := 0, 0
  48.     for l < leftSize && r < rightSize {
  49.         lValue := array[begin+l] // 左边数组的元素
  50.         rValue := array[mid+r]   // 右边数组的元素
  51.         // 小的元素先放进辅助数组里
  52.         if lValue < rValue {
  53.             result = append(result, lValue)
  54.             l++
  55.         } else {
  56.             result = append(result, rValue)
  57.             r++
  58.         }
  59.     }
  61.     // 将剩下的元素追加到辅助数组后面
  62.     result = append(result, array[begin+l:mid]...)
  63.     result = append(result, array[mid+r:end]...)
  65.     // 将辅助数组的元素复制回原数组，这样该辅助空间就可以被释放掉
  66.     for i := 0; i < newSize; i++ {
  67.         array[begin+i] = result[i]
  68.     }
  69.     return
  70. }
  72. func main() {
  73.     list := []int{5}
  74.     MergeSort2(list, 0, len(list))
  75.     fmt.Println(list)
  77.     list1 := []int{5, 9}
  78.     MergeSort2(list1, 0, len(list1))
  79.     fmt.Println(list1)
  81.     list2 := []int{5, 9, 1, 6, 8, 14, 6, 49, 25, 4, 6, 3}
  82.     MergeSort2(list2, 0, len(list2))
  83.     fmt.Println(list2)
  84. }

输出：

  1. [5]
  2. [5 9]
  3. [1 3 4 5 6 6 6 8 9 14 25 49]

自底向上非递归排序，我们可以看到没有递归那样程序栈的增加，效率比自顶向上的递归版本高

三、算法改进

归并排序归并操作占用了额外的辅助数组，且归并操作是从一个元素的数组开始。

我们可以做两点改进：

  1. 对于小规模数组，使用直接插入排序。
  2. 原地排序，节约掉辅助数组空间的占用。

我们建议使用自底向上非递归排序，不会有程序栈空间损耗。

我们先来介绍一种翻转算法，也叫手摇算法，主要用来对数组两部分进行位置互换，比如数组： [9,8,7,1,2,3]，将前三个元素与后面的三个元素交换位置，变成 [1,2,3,9,8,7]。

再比如，将字符串 abcde1234567 的前 5 个字符与后面的字符交换位置，那么手摇后变成：1234567abcde。

如何翻转呢？

  1. 将前部分逆序
  2. 将后部分逆序
  3. 对整体逆序

示例如下：

  1. 翻转 [1234567abcde] 的前5个字符。
  3. 1. 分成两部分：[abcde][1234567]
  4. 2. 分别逆序变成：[edcba][7654321]
  5. 3. 整体逆序：[1234567abcde]

归并原地排序利用了手摇算法的特征，不需要额外的辅助数组。

首先，两个有序的数组，分别是 arr[begin,mid-1]，arr[mid,end]，此时初始化 i=begin，j=mid，k=end，从 i~j 为左有序的数组，k~j为右有序的数组，如图：

归并排序 - 图3

将 i 向后移动，找到第一个 arr[i]>arr[j]的索引，这个时候，i 前面的部分已经排好序了，begin~i 这些元素已经是两个有序数组的前 n 小个元素。如图：

归并排序 - 图4

然后将 j 向后移动，找到第一个 arr[j]>arr[i]的索引，如图：

归并排序 - 图5

这个时候，mid~j 中的元素都小于 arr[i]，前面已经知道从 begin~i 已经是前 n 小了，所以这两部分 begin~i，mid~j 也是有序的了，我们要想办法将这两部分连接在一起。

我们只需进行翻转，将 i~mid 和 mid,j-1 部分进行位置互换即可，我们可以用手摇算法。

具体的代码如下：

  1. package main
  3. import "fmt"
  5. func InsertSort(list []int) {
  6.     n := len(list)
  7.     // 进行 N-1 轮迭代
  8.     for i := 1; i <= n-1; i++ {
  9.         deal := list[i] // 待排序的数
  10.         j := i - 1      // 待排序的数左边的第一个数的位置
  12.         // 如果第一次比较，比左边的已排好序的第一个数小，那么进入处理
  13.         if deal < list[j] {
  14.             // 一直往左边找，比待排序大的数都往后挪，腾空位给待排序插入
  15.             for ; j >= 0 && deal < list[j]; j-- {
  16.                 list[j+1] = list[j] // 某数后移，给待排序留空位
  17.             }
  18.             list[j+1] = deal // 结束了，待排序的数插入空位
  19.         }
  20.     }
  21. }
  23. // 自底向上归并排序优化版本
  24. func MergeSort3(array []int, n int) {
  25.     // 按照三个元素为一组进行小数组排序，使用直接插入排序
  26.     blockSize := 3
  27.     a, b := 0, blockSize
  28.     for b <= n {
  29.         InsertSort(array[a:b])
  30.         a = b
  31.         b += blockSize
  32.     }
  33.     InsertSort(array[a:n])
  35.     // 将这些小数组进行归并
  36.     for blockSize < n {
  37.         a, b = 0, 2*blockSize
  38.         for b <= n {
  39.             merge(array, a, a+blockSize, b)
  40.             a = b
  41.             b += 2 * blockSize
  42.         }
  43.         if m := a + blockSize; m < n {
  44.             merge(array, a, m, n)
  45.         }
  46.         blockSize *= 2
  47.     }
  48. }
  50. // 原地归并操作
  51. func merge(array []int, begin, mid, end int) {
  52.     // 三个下标，将数组 array[begin,mid] 和 array[mid,end-1]进行原地归并
  53.     i, j, k := begin, mid, end-1 // 因为数组下标从0开始，所以 k = end-1
  55.     for j-i > 0 && k-j >= 0 {
  56.         step := 0
  57.         // 从 i 向右移动，找到第一个 array[i]>array[j]的索引
  58.         for j-i > 0 && array[i] <= array[j] {
  59.             i++
  60.         }
  62.         // 从 j 向右移动，找到第一个 array[j]>array[i]的索引
  63.         for k-j >= 0 && array[j] <= array[i] {
  64.             j++
  65.             step++
  66.         }
  68.         // 进行手摇翻转，将 array[i,mid] 和 [mid,j-1] 进行位置互换
  69.         // mid 是从 j 开始向右出发的，所以 mid = j-step
  70.         rotation(array, i, j-step, j-1)
  71.         i = i + step
  72.     }
  74. }
  76. // 手摇算法，将 array[l,l+1,l+2,...,mid-2,mid-1,mid,mid+1,mid+2,...,r-2,r-1,r] 从mid开始两边交换位置
  77. // 1.先逆序前部分：array[mid-1,mid-2,...,l+2,l+1,l]
  78. // 2.后逆序后部分：array[r,r-1,r-2,...,mid+2,mid+1,mid]
  79. // 3.上两步完成后：array[mid-1,mid-2,...,l+2,l+1,l,r,r-1,r-2,...,mid+2,mid+1,mid]
  80. // 4.整体逆序： array[mid,mid+1,mid+2,...,r-2,r-1,r,l,l+1,l+2,...,mid-2,mid-1]
  81. func rotation(array []int, l, mid, r int) {
  82.     reverse(array, l, mid-1)
  83.     reverse(array, mid, r)
  84.     reverse(array, l, r)
  85. }
  87. func reverse(array []int, l, r int) {
  88.     for l < r {
  89.         // 左右互相交换
  90.         array[l], array[r] = array[r], array[l]
  91.         l++
  92.         r--
  93.     }
  94. }
  96. func main() {
  97.     list := []int{5}
  98.     MergeSort3(list, len(list))
  99.     fmt.Println(list)
  101.     list1 := []int{5, 9}
  102.     MergeSort3(list1, len(list1))
  103.     fmt.Println(list1)
  105.     list2 := []int{5, 9, 1, 6, 8, 14, 6, 49, 25, 4, 6, 3}
  106.     MergeSort3(list2, len(list2))
  107.     fmt.Println(list2)
  109.     list3 := []int{5, 9, 1, 6, 8, 14, 6, 49, 25, 4, 6, 3, 45, 67, 2, 5, 24, 56, 34, 24, 56, 2, 2, 21, 4, 1, 4, 7, 9}
  110.     MergeSort3(list3, len(list3))
  111.     fmt.Println(list3)
  112. }

输出：

  1. [5]
  2. [5 9]
  3. [1 3 4 5 6 6 6 8 9 14 25 49]
  4. [1 1 2 2 2 3 4 4 4 5 5 6 6 6 7 8 9 9 14 21 24 24 25 34 45 49 56 56 67]

我们自底开始，将元素按照数量为 blockSize 进行小数组排序，使用直接插入排序，然后我们对这些有序的数组向上进行归并操作。

归并过程中，使用原地归并，用了手摇算法，代码如下：

  1. func rotation(array []int, l, mid, r int) {
  2.     reverse(array, l, mid-1)
  3.     reverse(array, mid, r)
  4.     reverse(array, l, r)
  5. }

因为手摇只多了逆序翻转的操作，时间复杂度是 O(n)，虽然时间复杂度稍稍多了一点，但存储空间复杂度降为了 O(1)。

归并排序是唯一一个有稳定性保证的高级排序算法，某些时候，为了寻求大规模数据下排序前后，相同元素位置不变，可以使用归并排序。