AVL树

AVL树

二叉查找树的树高度影响了查找的效率，需要尽量减小树的高度，AVL树正是这样的树。

目前已经有更加完备的代码实现，请参考：https://github.com/hunterhug/gomap 。

一、AVL树介绍

AVL树是一棵严格自平衡的二叉查找树，1962年，发明者 Adelson-Velsky 和 Landis 发表了论文，以两个作者的名字命名了该数据结构，这是较早发明的平衡二叉树。

定义如下：

首先它是一棵二叉查找树。
任意一个节点的左右子树最大高度差为1。

由于树特征定义，我们可以计算出其高度 h 的上界 h<=1.44log(n)，也就是最坏情况下，树的高度约等于 1.44log(n)。

假设高度 h 的AVL树最少有 f(h) 个节点，因为左右子树的高度差不能大于1，所以左子树和右子树最少节点为： f(h-1)，f(h-2)。

因此，树根节点加上左右子树的节点，满足公式 f(h) = 1 + f(h-1) + f(h-2)，初始条件 f(0)=0,f(1)=1。

经过数学的推算可以得出 h<=1.44log(n)，由于计算过程超纲了，在此不进行演算。

树的高度被限制于 1.44log(n)，所以查找元素时使用二分查找，最坏查找 1.44log(n) 次，此时最坏时间复杂度为 1.44log(n)，去掉常数项，时间复杂度为：log(n)。

为了维持AVL树的特征，每次添加和删除元素都需要一次或多次旋转来调整树的平衡。调整的依据来自于二叉树节点的平衡因子：节点的左子树与右子树的高度差称为该节点的平衡因子，约束范围为 [-1，0，1]。

平衡二叉查找树比较难以理解的是添加和删除元素时的调整操作，我们将会具体分析。

二、AVL树基本结构

AVL树的数据结构如下：

// AVL树
type AVLTree struct {
    Root *AVLTreeNode // 树根节点
}
// AVL节点
type AVLTreeNode struct {
    Value  int64                 // 值
    Times  int64                 // 值出现的次数
    Height int64                 // 该节点作为树根节点，树的高度，方便计算平衡因子
    Left   *AVLTreeNode // 左子树
    Right  *AVLTreeNode // 右字树
}
// 初始化一个AVL树
func NewAVLTree() *AVLTree {
    return new(AVLTree)
}

其中 Height 表示以该节点作为树的根节点时该树的高度，方便计算平衡因子。

更新树的高度，代码如下：

// 更新节点的树高度
func (node *AVLTreeNode) UpdateHeight() {
    if node == nil {
        return
    }
    var leftHeight, rightHeight int64 = 0, 0
    if node.Left != nil {
        leftHeight = node.Left.Height
    }
    if node.Right != nil {
        rightHeight = node.Right.Height
    }
    // 哪个子树高算哪棵的
    maxHeight := leftHeight
    if rightHeight > maxHeight {
        maxHeight = rightHeight
    }
    // 高度加上自己那一层
    node.Height = maxHeight + 1
}

计算树的平衡因子，也就是左右子树的高度差，代码如下：

// 计算平衡因子
func (node *AVLTreeNode) BalanceFactor() int64 {
    var leftHeight, rightHeight int64 = 0, 0
    if node.Left != nil {
        leftHeight = node.Left.Height
    }
    if node.Right != nil {
        rightHeight = node.Right.Height
    }
    return leftHeight - rightHeight
}

三、AVL树添加元素

添加元素前需要定位到元素的位置，也就是使用二分查找找到该元素需要插入的地方。

插入后，需要满足所有节点的平衡因子在 [-1，0，1] 范围内，如果不在，需要进行旋转调整。

旋转有四种情况：

在右子树上插上右儿子导致失衡，左旋，转一次。
在左子树上插上左儿子导致失衡，右旋，转一次。
在左子树上插上右儿子导致失衡，先左后右旋，转两次。
在右子树上插上左儿子导致失衡，先右后左旋，转两次。

旋转规律记忆法：单旋和双旋，单旋反方向，双旋同方向。

以下示意图摘自维基百科，阅读代码时可以参考。

3.1. 左子树插左儿子：单右旋

在左子树上插上左儿子导致失衡，需要单右旋：

因为红色元素 2 的产生，其最近的父亲节点 Root 失衡了，元素 2 导致了元素 Root=5 的失衡，需要调整。

将 Pivot=3 代替元素 5 的位置成为新的 Root，然后元素 5 委屈一下成为 3 的右儿子，而 3 的右儿子变成了 5 的左儿子，如上图。

相应调整后树的高度降低了，该失衡消失。我们可以看到红色元素 2 有两个儿子，实际上在添加操作时它是一个新的节点，是没有儿子的，这种有儿子的情况只发生在删除操作。

如果一时难以理解，可以多看几次图好好思考。

代码如下：

// 单右旋操作，看图说话
func RightRotation(Root *AVLTreeNode) *AVLTreeNode {
    // 只有Pivot和B，Root位置变了
    Pivot := Root.Left
    B := Pivot.Right
    Pivot.Right = Root
    Root.Left = B
    // 只有Root和Pivot变化了高度
    Root.UpdateHeight()
    Pivot.UpdateHeight()
    return Pivot
}

3.2. 右子树插右儿子：单左旋

在右子树上插上右儿子导致失衡，需要单左旋：

代码如下：

// 单左旋操作，看图说话
func LeftRotation(Root *AVLTreeNode) *AVLTreeNode {
    // 只有Pivot和B，Root位置变了
    Pivot := Root.Right
    B := Pivot.Left
    Pivot.Left = Root
    Root.Right = B
    // 只有Root和Pivot变化了高度
    Root.UpdateHeight()
    Pivot.UpdateHeight()
    return Pivot
}

3.3. 左子树插右儿子：先左后右旋

在左子树上插上右儿子导致失衡，先左后右旋：

代码如下：

// 先左后右旋操作，看图说话
func LeftRightRotation(node *AVLTreeNode) *AVLTreeNode {
    node.Left = LeftRotation(node.Left)
    return RightRotation(node)
}

直接复用了之前左旋和右旋的代码，虽然难以理解，但是画一下图，确实这样调整后树高度降了，不再失衡，一切 perfect。

3.4. 右子树插左儿子：先右后左旋

在右子树上插上左儿子导致失衡，先右后左旋：

代码如下：

// 先右后左旋操作，看图说话
func RightLeftRotation(node *AVLTreeNode) *AVLTreeNode {
    node.Right = RightRotation(node.Right)
    return LeftRotation(node)
}

3.5. 具体实现

四种旋转代码实现后，我们开始进行添加元素操作：

// 添加元素
func (tree *AVLTree) Add(value int64) {
    // 往树根添加元素，会返回新的树根
    tree.Root = tree.Root.Add(value)
}
func (node *AVLTreeNode) Add(value int64) *AVLTreeNode {
    // 添加值到根节点node，如果node为空，那么让值成为新的根节点，树的高度为1
    if node == nil {
        return &AVLTreeNode{Value: value, Height: 1}
    }
    // 如果值重复，什么都不用做，直接更新次数
    if node.Value == value {
        node.Times = node.Times + 1
        return node
    }
    // 辅助变量
    var newTreeNode *AVLTreeNode
    if value > node.Value {
        // 插入的值大于节点值，要从右子树继续插入
        node.Right = node.Right.Add(value)
        // 平衡因子，插入右子树后，要确保树根左子树的高度不能比右子树低一层。
        factor := node.BalanceFactor()
        // 右子树的高度变高了，导致左子树-右子树的高度从-1变成了-2。
        if factor == -2 {
            if value > node.Right.Value {
                // 表示在右子树上插上右儿子导致失衡，需要单左旋：
                newTreeNode = LeftRotation(node)
            } else {
                //表示在右子树上插上左儿子导致失衡，先右后左旋：
                newTreeNode = RightLeftRotation(node)
            }
        }
    } else {
        // 插入的值小于节点值，要从左子树继续插入
        node.Left = node.Left.Add(value)
        // 平衡因子，插入左子树后，要确保树根左子树的高度不能比右子树高一层。
        factor := node.BalanceFactor()
        // 左子树的高度变高了，导致左子树-右子树的高度从1变成了2。
        if factor == 2 {
            if value < node.Left.Value {
                // 表示在左子树上插上左儿子导致失衡，需要单右旋：
                newTreeNode = RightRotation(node)
            } else {
                //表示在左子树上插上右儿子导致失衡，先左后右旋：
                newTreeNode = LeftRightRotation(node)
            }
        }
    }
    if newTreeNode == nil {
        // 表示什么旋转都没有，根节点没变，直接刷新树高度
        node.UpdateHeight()
        return node
    } else {
        // 旋转了，树根节点变了，需要刷新新的树根高度
        newTreeNode.UpdateHeight()
        return newTreeNode
    }
}

一开始从树根节点开始插入新值：tree.Root = tree.Root.Add(value)，因为插入值后会返回新的根节点，也就是说调整过程中树根节点会变化，所以要重新将新根节点赋予老的根节点。

在 func (node *AVLTreeNode) Add(value int64) 函数中，如果根节点为空，那么需要返回新的根节点：

    // 添加值到根节点node，如果node为空，那么让值成为新的根节点，树的高度为1
    if node == nil {
        return &AVLTreeNode{Value: value, Height: 1}
    }

接着，如果插入的值和节点的值一样，直接更新 Times：

// 如果值重复，什么都不用做，直接更新次数
    if node.Value == value {
        node.Times = node.Times + 1
        return node
    }

否则根据值的大小，旋转插入到左子树或右子树，我们只分析插入右子树的代码：

    if value > node.Value {
        // 插入的值大于节点值，要从右子树继续插入
        node.Right = node.Right.Add(value)
        // 平衡因子，插入右子树后，要确保树根左子树的高度不能比右子树低一层。
        factor := node.BalanceFactor()
        // 右子树的高度变高了，导致左子树-右子树的高度从-1变成了-2。
        if factor == -2 {
            if value > node.Right.Value {
                // 表示在右子树上插上右儿子导致失衡，需要单左旋：
                newTreeNode = LeftRotation(node)
            } else {
                //表示在右子树上插上左儿子导致失衡，先右后左旋：
                newTreeNode = RightLeftRotation(node)
            }
        }
    }

因为值添加到了右子树，所以转换成了在右子树添加元素：node.Right = node.Right.Add(value)，之后要判断根节点的平衡因子是否变化了。

值插入右子树后，要确保树根左子树的高度不能比右子树低一层。当平衡因子 factor == -2 表示右子树的高度变高了，导致 左子树-右子树 的高度从 -1 变成了 -2，所以要旋转。

判断新插入的值是在右子树的左儿子还是右儿子上：

            if value > node.Right.Value {
                // 表示在右子树上插上右儿子导致失衡，需要单左旋：
                newTreeNode = LeftRotation(node)
            } else {
                //表示在右子树上插上左儿子导致失衡，先右后左旋：
                newTreeNode = RightLeftRotation(node)
            }

如果在右子树上插上右儿子导致失衡，需要单左旋：LeftRotation(node)，如果在右子树上插上左儿子导致失衡，先右后左旋：RightLeftRotation(node)。

最后需要更新树根节点的高度，并返回树根(如果曾经旋转，表示树根变了，需要返回新的树根)：

    if newTreeNode == nil {
        // 表示什么旋转都没有，根节点没变，直接刷新树高度
        node.UpdateHeight()
        return node
    } else {
        // 旋转了，树根节点变了，需要刷新新的树根高度
        newTreeNode.UpdateHeight()
        return newTreeNode
    }

3.6. 时间复杂度分析

添加元素时先要找到元素插入的位置，找到位置后逐层自底向上更新每个子树的树高度，并根据子树平衡是否被破坏，需要进行旋转操作。

由于树的高度最高为 1.44log(n)，查找元素插入位置，最坏次数为 1.44log(n) 次。逐层更新子树高度并判断平衡是否被破坏，最坏需要 1.44log(n) 次，因此可以得知添加元素最坏时间复杂度为：2.88log(n)，去掉常数项，时间复杂度为：log(n)。

关于旋转次数，当插入节点后，某子树不平衡时最多旋转 2次，也就是双旋该子树即可恢复平衡，该调整为局部特征，调整完后其父层不再需要旋转。也就是说，插入操作最坏旋转两次即可。

由于代码的递归实现方式，当某子树旋转过后其父层子树仍然需要判断平衡因子，判断是否需要旋转，该操作是不必要的，因为子树旋转过后全局已经平衡了，不必再判断父层的平衡因子。

对此可以进行代码优化，在左子树或右子树插入元素后，除了返回根节点，还返回其是否旋转过的辅助变量，如：func (node *AVLTreeNode) Add(value int64) (newNode *AVLTreeNode, rotate bool) ，根据返回的辅助变量 rotate，可以：

    node.Right, rotate= node.Right.Add(value)
    if !rotate {
        //  子树没有旋转过，那么需要判断是否需要旋转
        // 平衡因子，插入右子树后，要确保树根左子树的高度不能比右子树低一层。
        factor := node.BalanceFactor()
        // 右子树的高度变高了，导致左子树-右子树的高度从-1变成了-2。
        if factor == -2 {
            if value > node.Right.Value {
                // 表示在右子树上插上右儿子导致失衡，需要单左旋：
                newTreeNode = LeftRotation(node)
            } else {
                //表示在右子树上插上左儿子导致失衡，先右后左旋：
                newTreeNode = RightLeftRotation(node)
            }
        }
    }else{
        // do nothing
    }

但此优化意义不大，因为返回辅助变量后仍然需要判断，判断辅助变量和判断平衡因子，时间复杂度一样。

插入元素进行调整后，需要递归向上更新每一棵子树高度，其时间复杂度为 log(n)，但可以优化，当两棵子树高度都没有变化时，那么上面的父层子树们都不需要更新树高度，直接退出，由于是递归程序，如何向上传递这个信息，引入了额外空间成本，且不可避免仍然会出现所有层级的父节点都必须更新树高度，优化意义不是很大。

四、AVL树查找元素等操作

其他操作与二叉查找树通用，代码如下：

// 找出最小值的节点
func (tree *AVLTree) FindMinValue() *AVLTreeNode {
    if tree.Root == nil {
        // 如果是空树，返回空
        return nil
    }
    return tree.Root.FindMinValue()
}
func (node *AVLTreeNode) FindMinValue() *AVLTreeNode {
    // 左子树为空，表面已经是最左的节点了，该值就是最小值
    if node.Left == nil {
        return node
    }
    // 一直左子树递归
    return node.Left.FindMinValue()
}
// 找出最大值的节点
func (tree *AVLTree) FindMaxValue() *AVLTreeNode {
    if tree.Root == nil {
        // 如果是空树，返回空
        return nil
    }
    return tree.Root.FindMaxValue()
}
func (node *AVLTreeNode) FindMaxValue() *AVLTreeNode {
    // 右子树为空，表面已经是最右的节点了，该值就是最大值
    if node.Right == nil {
        return node
    }
    // 一直右子树递归
    return node.Right.FindMaxValue()
}
// 查找指定节点
func (tree *AVLTree) Find(value int64) *AVLTreeNode {
    if tree.Root == nil {
        // 如果是空树，返回空
        return nil
    }
    return tree.Root.Find(value)
}
func (node *AVLTreeNode) Find(value int64) *AVLTreeNode {
    if value == node.Value {
        // 如果该节点刚刚等于该值，那么返回该节点
        return node
    } else if value < node.Value {
        // 如果查找的值小于节点值，从节点的左子树开始找
        if node.Left == nil {
            // 左子树为空，表示找不到该值了，返回nil
            return nil
        }
        return node.Left.Find(value)
    } else {
        // 如果查找的值大于节点值，从节点的右子树开始找
        if node.Right == nil {
            // 右子树为空，表示找不到该值了，返回nil
            return nil
        }
        return node.Right.Find(value)
    }
}
// 中序遍历
func (tree *AVLTree) MidOrder() {
    tree.Root.MidOrder()
}
func (node *AVLTreeNode) MidOrder() {
    if node == nil {
        return
    }
    // 先打印左子树
    node.Left.MidOrder()
    // 按照次数打印根节点
    for i := 0; i <= int(node.Times); i++ {
        fmt.Println(node.Value)
    }
    // 打印右子树
    node.Right.MidOrder()
}

查找操作逻辑与通用的二叉查找树一样，并无区别。

五、AVL树删除元素

删除元素有四种情况：

删除的节点是叶子节点，没有儿子，直接删除后看离它最近的父亲节点是否失衡，做调整操作。
删除的节点下有两个子树，选择高度更高的子树下的节点来替换被删除的节点，如果左子树更高，选择左子树中最大的节点，也就是左子树最右边的叶子节点，如果右子树更高，选择右子树中最小的节点，也就是右子树最左边的叶子节点。最后，删除这个叶子节点，也就是变成情况1。
删除的节点只有左子树，可以知道左子树其实就只有一个节点，被删除节点本身（假设左子树多于2个节点，那么高度差就等于2了，不符合AVL树定义），将左节点替换被删除的节点，最后删除这个左节点，变成情况1。
删除的节点只有右子树，可以知道右子树其实就只有一个节点，被删除节点本身（假设右子树多于2个节点，那么高度差就等于2了，不符合AVL树定义），将右节点替换被删除的节点，最后删除这个右节点，变成情况1。

后面三种情况最后都变成 情况1，就是将删除的节点变成叶子节点，然后可以直接删除该叶子节点，然后看其最近的父亲节点是否失衡，失衡时对树进行平衡。

举个例子，删除叶子节点，如图：

删除节点 24，导致节点 26 的子树不平衡了，这时需要对该子树进行旋转，旋转后如图：

可以发现这时树仍然不平衡，这时是节点 22 的子树不平衡，需要继续旋转，旋转后如图：

实现代码如下：

func (node *AVLTreeNode) Delete(value int64) *AVLTreeNode {
    if node == nil {
        // 如果是空树，直接返回
        return nil
    }
    if value < node.Value {
        // 从左子树开始删除
        node.Left = node.Left.Delete(value)
        // 删除后要更新该子树高度
        node.Left.UpdateHeight()
    } else if value > node.Value {
        // 从右子树开始删除
        node.Right = node.Right.Delete(value)
        // 删除后要更新该子树高度
        node.Right.UpdateHeight()
    } else {
        // 找到该值对应的节点
        // 该节点没有左右子树
        // 第一种情况，删除的节点没有儿子，直接删除即可。
        if node.Left == nil && node.Right == nil {
            return nil // 直接返回nil，表示直接该值删除
        }
        // 该节点有两棵子树，选择更高的哪个来替换
        // 第二种情况，删除的节点下有两个子树，选择高度更高的子树下的节点来替换被删除的节点，如果左子树更高，选择左子树中最大的节点，也就是左子树最右边的叶子节点，如果右子树更高，选择右子树中最小的节点，也就是右子树最左边的叶子节点。最后，删除这个叶子节点。
        if node.Left != nil && node.Right != nil {
            // 左子树更高，拿左子树中最大值的节点替换
            if node.Left.Height > node.Right.Height {
                maxNode := node.Left
                for maxNode.Right != nil {
                    maxNode = maxNode.Right
                }
                // 最大值的节点替换被删除节点
                node.Value = maxNode.Value
                node.Times = maxNode.Times
                // 把最大的节点删掉
                node.Left = node.Left.Delete(maxNode.Value)
                // 删除后要更新该子树高度
                node.Left.UpdateHeight()
            } else {
                // 右子树更高，拿右子树中最小值的节点替换
                minNode := node.Right
                for minNode.Left != nil {
                    minNode = minNode.Left
                }
                // 最小值的节点替换被删除节点
                node.Value = minNode.Value
                node.Times = minNode.Times
                // 把最小的节点删掉
                node.Right = node.Right.Delete(minNode.Value)
                // 删除后要更新该子树高度
                node.Right.UpdateHeight()
            }
        } else {
            // 只有左子树或只有右子树
            // 只有一个子树，该子树也只是一个节点，将该节点替换被删除的节点，然后置子树为空
            if node.Left != nil {
                //第三种情况，删除的节点只有左子树，因为树的特征，可以知道左子树其实就只有一个节点，它本身，否则高度差就等于2了。
                node.Value = node.Left.Value
                node.Times = node.Left.Times
                node.Height = 1
                node.Left = nil
            } else if node.Right != nil {
                //第四种情况，删除的节点只有右子树，因为树的特征，可以知道右子树其实就只有一个节点，它本身，否则高度差就等于2了。
                node.Value = node.Right.Value
                node.Times = node.Right.Times
                node.Height = 1
                node.Right = nil
            }
        }
        // 找到值后，进行替换删除后，直接返回该节点
        return node
    }
    // 左右子树递归删除节点后需要平衡
    var newNode *AVLTreeNode
    // 相当删除了右子树的节点，左边比右边高了，不平衡
    if node.BalanceFactor() == 2 {
        if node.Left.BalanceFactor() >= 0 {
            newNode = RightRotation(node)
        } else {
            newNode = LeftRightRotation(node)
        }
        //  相当删除了左子树的节点，右边比左边高了，不平衡
    } else if node.BalanceFactor() == -2 {
        if node.Right.BalanceFactor() <= 0 {
            newNode = LeftRotation(node)
        } else {
            newNode = RightLeftRotation(node)
        }
    }
    if newNode == nil {
        node.UpdateHeight()
        return node
    } else {
        newNode.UpdateHeight()
        return newNode
    }
}

当删除的值不等于当前节点的值时，在相应的子树中递归删除，递归过程中会自底向上维护AVL树的特征。

小于删除的值 value < node.Value，在左子树中递归删除：node.Left = node.Left.Delete(value)。
大于删除的值 value > node.Value，在右子树中递归删除：node.Right = node.Right.Delete(value)。

因为删除后可能因为旋转调整，导致树根节点变了，这时会返回新的树根，递归删除后需要将返回的新根节点赋予原来的老根节点。

情况1，找到要删除的值时，该值是叶子节点，直接删除该节点即可：

        // 第一种情况，删除的节点没有儿子，直接删除即可。
        if node.Left == nil && node.Right == nil {
            return nil // 直接返回nil，表示直接该值删除
        }

情况2，删除的节点有两棵子树，选择高度更高的子树下的节点来替换被删除的节点：

        // 该节点有两棵子树，选择更高的哪个来替换
        // 第二种情况，删除的节点下有两个子树，选择高度更高的子树下的节点来替换被删除的节点，如果左子树更高，选择左子树中最大的节点，也就是左子树最右边的叶子节点，如果右子树更高，选择右子树中最小的节点，也就是右子树最左边的叶子节点。最后，删除这个叶子节点。
        if node.Left != nil && node.Right != nil {
            // 左子树更高，拿左子树中最大值的节点替换
            if node.Left.Height > node.Right.Height {
                maxNode := node.Left
                for maxNode.Right != nil {
                    maxNode = maxNode.Right
                }
                // 最大值的节点替换被删除节点
                node.Value = maxNode.Value
                node.Times = maxNode.Times
                // 把最大的节点删掉
                node.Left = node.Left.Delete(maxNode.Value)
                // 删除后要更新该子树高度
                node.Left.UpdateHeight()
            } else {
                // 右子树更高，拿右子树中最小值的节点替换
                minNode := node.Right
                for minNode.Left != nil {
                    minNode = minNode.Left
                }
                // 最小值的节点替换被删除节点
                node.Value = minNode.Value
                node.Times = minNode.Times
                // 把最小的节点删掉
                node.Right = node.Right.Delete(minNode.Value)
                // 删除后要更新该子树高度
                node.Right.UpdateHeight()
            }
        }

情况3和情况4，如果被删除的节点只有一个子树，那么该子树一定没有儿子，不然树的高度就大于1了，所以直接替换值后删除该子树节点：

            // 只有左子树或只有右子树
            // 只有一个子树，该子树也只是一个节点，将该节点替换被删除的节点，然后置子树为空
            if node.Left != nil {
                //第三种情况，删除的节点只有左子树，因为树的特征，可以知道左子树其实就只有一个节点，它本身，否则高度差就等于2了。
                node.Value = node.Left.Value
                node.Times = node.Left.Times
                node.Height = 1
                node.Left = nil
            } else if node.Right != nil {
                //第四种情况，删除的节点只有右子树，因为树的特征，可以知道右子树其实就只有一个节点，它本身，否则高度差就等于2了。
                node.Value = node.Right.Value
                node.Times = node.Right.Times
                node.Height = 1
                node.Right = nil
            }

核心在于删除后的旋转调整，如果删除的值不匹配当前节点的值，对当前节点的左右子树进行递归删除，递归删除后该节点为根节点的子树可能不平衡，我们需要判断后决定要不要旋转这棵树。

每次递归都是自底向上，从很小的子树到很大的子树，如果自底向上每棵子树都进行调整，约束在树的高度差不超过1，那么整棵树自然也符合AVL树的平衡规则。

删除元素后，如果子树失衡，需要进行调整操作，主要有两种：删除后左子树比右子树高，删除后右子树比左子树高。

5.1. 删除后，左子树比右子树高

如果删除了右子树的节点，左边比右边高了，不平衡了：

    // 相当删除了右子树的节点，左边比右边高了，不平衡
    if node.BalanceFactor() == 2 {
        if node.Left.BalanceFactor() >= 0 {
            newNode = RightRotation(node)
        } else {
            newNode = LeftRightRotation(node)
        }
    }

为什么要这么调整呢，看图说话，有两幅图参考：

这幅图可以看到：

黄色点5.BalanceFactor() == 2，对应：node.BalanceFactor() == 2。
绿色点3.BalanceFactor() == 1，对应：node.Left.BalanceFactor() == 1。

所以应该需要右旋：newNode = RightRotation(node)

这幅图可以看到：

黄色点5.BalanceFactor() == 2，对应：node.BalanceFactor() == 2
绿色点3.BalanceFactor() == -1，对应：node.Left.BalanceFactor() == -1。

所以应该需要先左后右旋：newNode = LeftRightRotation(node)

还有一种特殊情况，和上面的都不一样，如图：

我们如果删除节点 22 或节点 23，这个时候根节点 20 失衡了。

根节点 20 的左子树比右子树高了 2 层，对应：node.BalanceFactor() == 2。
左子树节点 13 并没有失衡，对应：node.BalanceFactor() == 0。

这个时候，无论使用右旋，还是先左旋后右旋都可以使树恢复平衡，我们的 if 判断条件使用了右旋。

如果是先左旋后右旋，那么旋转后恢复平衡，如图对根结点进行旋转：

如果使用右旋也可以，如图对根结点进行旋转：

5.2. 删除后，右子树比左子树高

如果删除了左子树的节点，右边比左边高了，不平衡了：

        //  相当删除了左子树的节点，右边比左边高了，不平衡
        if node.BalanceFactor() == -2 {
            if node.Right.BalanceFactor() <= 0 {
            newNode = LeftRotation(node)
            } else {
            newNode = RightLeftRotation(node)
            }
        }

为什么要这么调整呢，看图说话，有两幅图参考：

这幅图可以看到：

绿色点3.BalanceFactor() == -2，对应：node.BalanceFactor() == -2。
黄色点5.BalanceFactor() == -1，对应：node.Left.BalanceFactor() == -1。

所以应该需要左旋：newNode = LeftRotation(node)

这幅图可以看到：

绿色点3.BalanceFactor() == -2，对应：node.BalanceFactor() == -2。
黄色点5.BalanceFactor() == 1，对应：node.Left.BalanceFactor() == 1。

所以应该需要先右后左旋：newNode = RightLeftRotation(node)

当然，还有另外一种特殊情况，与 5.1 章节类似，使用左旋还是先右旋后左旋都可以，在这里就不阐述了。

5.3. 删除后，调整树高度

进行调整操作后，需要更新该子树的高度。如果没有旋转过，更新之前节点的树高度。如果曾经旋转过，树根变了，更新新的树根节点高度。

    if newNode == nil {
        node.UpdateHeight()
        return node
    } else {
        newNode.UpdateHeight()
        return newNode
    }

5.4. 时间复杂度分析

删除操作是先找到删除的节点，然后将该节点与一个叶子节点交换，接着删除叶子节点，最后对叶子节点的父层逐层向上旋转调整。

删除操作的时间复杂度和添加操作一样。区别在于，添加操作最多旋转两次就可以达到树的平衡，而删除操作可能会旋转超过两次。

如图是一棵比较糟糕的 AVL 树：

删除节点1，旋转可以一直旋转到根节点，比插入旋转最多旋转两次的次数更多。

六、验证是否是一棵AVL树

如何确保我们的代码实现的就是一棵 AVL 树呢，可以进行验证：

// 验证是不是棵AVL树
func (tree *AVLTree) IsAVLTree() bool {
    if tree == nil || tree.Root == nil {
        return true
    }
    // 判断节点是否符合 AVL 树的定义
    if tree.Root.IsRight() {
        return true
    }
    return false
}
// 判断节点是否符合 AVL 树的定义
func (node *AVLTreeNode) IsRight() bool {
    if node == nil {
        return true
    }
    // 左右子树都为空，那么是叶子节点
    if node.Left == nil && node.Right == nil {
        // 叶子节点高度应该为1
        if node.Height == 1 {
            return true
        } else {
            fmt.Println("leaf node height is ", node.Height)
            return false
        }
    } else if node.Left != nil && node.Right != nil {
        // 左右子树都是满的
        // 左儿子必须比父亲小，右儿子必须比父亲大
        if node.Left.Value < node.Value && node.Right.Value > node.Value {
        } else {
            // 不符合 AVL 树定义
            fmt.Printf("father is %v lchild is %v, rchild is %v\n", node.Value, node.Left.Value, node.Right.Value)
            return false
        }
        bal := node.Left.Height - node.Right.Height
        if bal < 0 {
            bal = -bal
        }
        // 子树高度差不能大于1
        if bal > 1 {
            fmt.Println("sub tree height bal is ", bal)
            return false
        }
        // 如果左子树比右子树高，那么父亲的高度等于左子树+1
        if node.Left.Height > node.Right.Height {
            if node.Height == node.Left.Height+1 {
            } else {
                fmt.Printf("%#v height:%v,left sub tree height: %v,right sub tree height:%v\n", node, node.Height, node.Left.Height, node.Right.Height)
                return false
            }
        } else {
            // 如果右子树比左子树高，那么父亲的高度等于右子树+1
            if node.Height == node.Right.Height+1 {
            } else {
                fmt.Printf("%#v height:%v,left sub tree height: %v,right sub tree height:%v\n", node, node.Height, node.Left.Height, node.Right.Height)
                return false
            }
        }
        // 递归判断子树
        if !node.Left.IsRight() {
            return false
        }
        // 递归判断子树
        if !node.Right.IsRight() {
            return false
        }
    } else {
        // 只存在一棵子树
        if node.Right != nil {
            // 子树高度只能是1
            if node.Right.Height == 1 && node.Right.Left == nil && node.Right.Right == nil {
                if node.Right.Value > node.Value {
                    // 右节点必须比父亲大
                } else {
                    fmt.Printf("%v,(%#v,%#v) child", node.Value, node.Right, node.Left)
                    return false
                }
            } else {
                fmt.Printf("%v,(%#v,%#v) child", node.Value, node.Right, node.Left)
                return false
            }
        } else {
            if node.Left.Height == 1 && node.Left.Left == nil && node.Left.Right == nil {
                if node.Left.Value < node.Value {
                    // 左节点必须比父亲小
                } else {
                    fmt.Printf("%v,(%#v,%#v) child", node.Value, node.Right, node.Left)
                    return false
                }
            } else {
                fmt.Printf("%v,(%#v,%#v) child", node.Value, node.Right, node.Left)
                return false
            }
        }
    }
    return true
}

运行请看完整代码。

七、AVL树完整代码

package main
import (
    "fmt"
)
// AVL树
type AVLTree struct {
    Root *AVLTreeNode // 树根节点
}
// AVL节点
type AVLTreeNode struct {
    Value  int64        // 值
    Times  int64        // 值出现的次数
    Height int64        // 该节点作为树根节点，树的高度，方便计算平衡因子
    Left   *AVLTreeNode // 左子树
    Right  *AVLTreeNode // 右字树
}
// 初始化一个AVL树
func NewAVLTree() *AVLTree {
    return new(AVLTree)
}
// 更新节点的树高度
func (node *AVLTreeNode) UpdateHeight() {
    if node == nil {
        return
    }
    var leftHeight, rightHeight int64 = 0, 0
    if node.Left != nil {
        leftHeight = node.Left.Height
    }
    if node.Right != nil {
        rightHeight = node.Right.Height
    }
    // 哪个子树高算哪棵的
    maxHeight := leftHeight
    if rightHeight > maxHeight {
        maxHeight = rightHeight
    }
    // 高度加上自己那一层
    node.Height = maxHeight + 1
}
// 计算平衡因子
func (node *AVLTreeNode) BalanceFactor() int64 {
    var leftHeight, rightHeight int64 = 0, 0
    if node.Left != nil {
        leftHeight = node.Left.Height
    }
    if node.Right != nil {
        rightHeight = node.Right.Height
    }
    return leftHeight - rightHeight
}
// 单右旋操作，看图说话
func RightRotation(Root *AVLTreeNode) *AVLTreeNode {
    // 只有Pivot和B，Root位置变了
    Pivot := Root.Left
    B := Pivot.Right
    Pivot.Right = Root
    Root.Left = B
    // 只有Root和Pivot变化了高度
    Root.UpdateHeight()
    Pivot.UpdateHeight()
    return Pivot
}
// 单左旋操作，看图说话
func LeftRotation(Root *AVLTreeNode) *AVLTreeNode {
    // 只有Pivot和B，Root位置变了
    Pivot := Root.Right
    B := Pivot.Left
    Pivot.Left = Root
    Root.Right = B
    // 只有Root和Pivot变化了高度
    Root.UpdateHeight()
    Pivot.UpdateHeight()
    return Pivot
}
// 先左后右旋操作，看图说话
func LeftRightRotation(node *AVLTreeNode) *AVLTreeNode {
    node.Left = LeftRotation(node.Left)
    return RightRotation(node)
}
// 先右后左旋操作，看图说话
func RightLeftRotation(node *AVLTreeNode) *AVLTreeNode {
    node.Right = RightRotation(node.Right)
    return LeftRotation(node)
}
// 添加元素
func (tree *AVLTree) Add(value int64) {
    // 往树根添加元素，会返回新的树根
    tree.Root = tree.Root.Add(value)
}
func (node *AVLTreeNode) Add(value int64) *AVLTreeNode {
    // 添加值到根节点node，如果node为空，那么让值成为新的根节点，树的高度为1
    if node == nil {
        return &AVLTreeNode{Value: value, Height: 1}
    }
    // 如果值重复，什么都不用做，直接更新次数
    if node.Value == value {
        node.Times = node.Times + 1
        return node
    }
    // 辅助变量
    var newTreeNode *AVLTreeNode
    if value > node.Value {
        // 插入的值大于节点值，要从右子树继续插入
        node.Right = node.Right.Add(value)
        // 平衡因子，插入右子树后，要确保树根左子树的高度不能比右子树低一层。
        factor := node.BalanceFactor()
        // 右子树的高度变高了，导致左子树-右子树的高度从-1变成了-2。
        if factor == -2 {
            if value > node.Right.Value {
                // 表示在右子树上插上右儿子导致失衡，需要单左旋：
                newTreeNode = LeftRotation(node)
            } else {
                //表示在右子树上插上左儿子导致失衡，先右后左旋：
                newTreeNode = RightLeftRotation(node)
            }
        }
    } else {
        // 插入的值小于节点值，要从左子树继续插入
        node.Left = node.Left.Add(value)
        // 平衡因子，插入左子树后，要确保树根左子树的高度不能比右子树高一层。
        factor := node.BalanceFactor()
        // 左子树的高度变高了，导致左子树-右子树的高度从1变成了2。
        if factor == 2 {
            if value < node.Left.Value {
                // 表示在左子树上插上左儿子导致失衡，需要单右旋：
                newTreeNode = RightRotation(node)
            } else {
                //表示在左子树上插上右儿子导致失衡，先左后右旋：
                newTreeNode = LeftRightRotation(node)
            }
        }
    }
    if newTreeNode == nil {
        // 表示什么旋转都没有，根节点没变，直接刷新树高度
        node.UpdateHeight()
        return node
    } else {
        // 旋转了，树根节点变了，需要刷新新的树根高度
        newTreeNode.UpdateHeight()
        return newTreeNode
    }
}
// 找出最小值的节点
func (tree *AVLTree) FindMinValue() *AVLTreeNode {
    if tree.Root == nil {
        // 如果是空树，返回空
        return nil
    }
    return tree.Root.FindMinValue()
}
func (node *AVLTreeNode) FindMinValue() *AVLTreeNode {
    // 左子树为空，表面已经是最左的节点了，该值就是最小值
    if node.Left == nil {
        return node
    }
    // 一直左子树递归
    return node.Left.FindMinValue()
}
// 找出最大值的节点
func (tree *AVLTree) FindMaxValue() *AVLTreeNode {
    if tree.Root == nil {
        // 如果是空树，返回空
        return nil
    }
    return tree.Root.FindMaxValue()
}
func (node *AVLTreeNode) FindMaxValue() *AVLTreeNode {
    // 右子树为空，表面已经是最右的节点了，该值就是最大值
    if node.Right == nil {
        return node
    }
    // 一直右子树递归
    return node.Right.FindMaxValue()
}
// 查找指定节点
func (tree *AVLTree) Find(value int64) *AVLTreeNode {
    if tree.Root == nil {
        // 如果是空树，返回空
        return nil
    }
    return tree.Root.Find(value)
}
func (node *AVLTreeNode) Find(value int64) *AVLTreeNode {
    if value == node.Value {
        // 如果该节点刚刚等于该值，那么返回该节点
        return node
    } else if value < node.Value {
        // 如果查找的值小于节点值，从节点的左子树开始找
        if node.Left == nil {
            // 左子树为空，表示找不到该值了，返回nil
            return nil
        }
        return node.Left.Find(value)
    } else {
        // 如果查找的值大于节点值，从节点的右子树开始找
        if node.Right == nil {
            // 右子树为空，表示找不到该值了，返回nil
            return nil
        }
        return node.Right.Find(value)
    }
}
// 删除指定的元素
func (tree *AVLTree) Delete(value int64) {
    if tree.Root == nil {
        // 如果是空树，直接返回
        return
    }
    tree.Root = tree.Root.Delete(value)
}
func (node *AVLTreeNode) Delete(value int64) *AVLTreeNode {
    if node == nil {
        // 如果是空树，直接返回
        return nil
    }
    if value < node.Value {
        // 从左子树开始删除
        node.Left = node.Left.Delete(value)
        // 删除后要更新该子树高度
        node.Left.UpdateHeight()
    } else if value > node.Value {
        // 从右子树开始删除
        node.Right = node.Right.Delete(value)
        // 删除后要更新该子树高度
        node.Right.UpdateHeight()
    } else {
        // 找到该值对应的节点
        // 该节点没有左右子树
        // 第一种情况，删除的节点没有儿子，直接删除即可。
        if node.Left == nil && node.Right == nil {
            return nil // 直接返回nil，表示直接该值删除
        }
        // 该节点有两棵子树，选择更高的哪个来替换
        // 第二种情况，删除的节点下有两个子树，选择高度更高的子树下的节点来替换被删除的节点，如果左子树更高，选择左子树中最大的节点，也就是左子树最右边的叶子节点，如果右子树更高，选择右子树中最小的节点，也就是右子树最左边的叶子节点。最后，删除这个叶子节点。
        if node.Left != nil && node.Right != nil {
            // 左子树更高，拿左子树中最大值的节点替换
            if node.Left.Height > node.Right.Height {
                maxNode := node.Left
                for maxNode.Right != nil {
                    maxNode = maxNode.Right
                }
                // 最大值的节点替换被删除节点
                node.Value = maxNode.Value
                node.Times = maxNode.Times
                // 把最大的节点删掉
                node.Left = node.Left.Delete(maxNode.Value)
                // 删除后要更新该子树高度
                node.Left.UpdateHeight()
            } else {
                // 右子树更高，拿右子树中最小值的节点替换
                minNode := node.Right
                for minNode.Left != nil {
                    minNode = minNode.Left
                }
                // 最小值的节点替换被删除节点
                node.Value = minNode.Value
                node.Times = minNode.Times
                // 把最小的节点删掉
                node.Right = node.Right.Delete(minNode.Value)
                // 删除后要更新该子树高度
                node.Right.UpdateHeight()
            }
        } else {
            // 只有左子树或只有右子树
            // 只有一个子树，该子树也只是一个节点，将该节点替换被删除的节点，然后置子树为空
            if node.Left != nil {
                //第三种情况，删除的节点只有左子树，因为树的特征，可以知道左子树其实就只有一个节点，它本身，否则高度差就等于2了。
                node.Value = node.Left.Value
                node.Times = node.Left.Times
                node.Height = 1
                node.Left = nil
            } else if node.Right != nil {
                //第四种情况，删除的节点只有右子树，因为树的特征，可以知道右子树其实就只有一个节点，它本身，否则高度差就等于2了。
                node.Value = node.Right.Value
                node.Times = node.Right.Times
                node.Height = 1
                node.Right = nil
            }
        }
        // 找到值后，进行替换删除后，直接返回该节点
        return node
    }
    // 左右子树递归删除节点后需要平衡
    var newNode *AVLTreeNode
    // 相当删除了右子树的节点，左边比右边高了，不平衡
    if node.BalanceFactor() == 2 {
        if node.Left.BalanceFactor() >= 0 {
            newNode = RightRotation(node)
        } else {
            newNode = LeftRightRotation(node)
        }
        //  相当删除了左子树的节点，右边比左边高了，不平衡
    } else if node.BalanceFactor() == -2 {
        if node.Right.BalanceFactor() <= 0 {
            newNode = LeftRotation(node)
        } else {
            newNode = RightLeftRotation(node)
        }
    }
    if newNode == nil {
        node.UpdateHeight()
        return node
    } else {
        newNode.UpdateHeight()
        return newNode
    }
}
// 中序遍历
func (tree *AVLTree) MidOrder() {
    tree.Root.MidOrder()
}
func (node *AVLTreeNode) MidOrder() {
    if node == nil {
        return
    }
    // 先打印左子树
    node.Left.MidOrder()
    // 按照次数打印根节点
    for i := 0; i <= int(node.Times); i++ {
        fmt.Println("value:", node.Value, " tree height:", node.BalanceFactor())
    }
    // 打印右子树
    node.Right.MidOrder()
}
// 验证是不是棵AVL树
func (tree *AVLTree) IsAVLTree() bool {
    if tree == nil || tree.Root == nil {
        return true
    }
    // 判断节点是否符合 AVL 树的定义
    if tree.Root.IsRight() {
        return true
    }
    return false
}
// 判断节点是否符合 AVL 树的定义
func (node *AVLTreeNode) IsRight() bool {
    if node == nil {
        return true
    }
    // 左右子树都为空，那么是叶子节点
    if node.Left == nil && node.Right == nil {
        // 叶子节点高度应该为1
        if node.Height == 1 {
            return true
        } else {
            fmt.Println("leaf node height is ", node.Height)
            return false
        }
    } else if node.Left != nil && node.Right != nil {
        // 左右子树都是满的
        // 左儿子必须比父亲小，右儿子必须比父亲大
        if node.Left.Value < node.Value && node.Right.Value > node.Value {
        } else {
            // 不符合 AVL 树定义
            fmt.Printf("father is %v lchild is %v, rchild is %v\n", node.Value, node.Left.Value, node.Right.Value)
            return false
        }
        bal := node.Left.Height - node.Right.Height
        if bal < 0 {
            bal = -bal
        }
        // 子树高度差不能大于1
        if bal > 1 {
            fmt.Println("sub tree height bal is ", bal)
            return false
        }
        // 如果左子树比右子树高，那么父亲的高度等于左子树+1
        if node.Left.Height > node.Right.Height {
            if node.Height == node.Left.Height+1 {
            } else {
                fmt.Printf("%#v height:%v,left sub tree height: %v,right sub tree height:%v\n", node, node.Height, node.Left.Height, node.Right.Height)
                return false
            }
        } else {
            // 如果右子树比左子树高，那么父亲的高度等于右子树+1
            if node.Height == node.Right.Height+1 {
            } else {
                fmt.Printf("%#v height:%v,left sub tree height: %v,right sub tree height:%v\n", node, node.Height, node.Left.Height, node.Right.Height)
                return false
            }
        }
        // 递归判断子树
        if !node.Left.IsRight() {
            return false
        }
        // 递归判断子树
        if !node.Right.IsRight() {
            return false
        }
    } else {
        // 只存在一棵子树
        if node.Right != nil {
            // 子树高度只能是1
            if node.Right.Height == 1 && node.Right.Left == nil && node.Right.Right == nil {
                if node.Right.Value > node.Value {
                    // 右节点必须比父亲大
                } else {
                    fmt.Printf("%v,(%#v,%#v) child", node.Value, node.Right, node.Left)
                    return false
                }
            } else {
                fmt.Printf("%v,(%#v,%#v) child", node.Value, node.Right, node.Left)
                return false
            }
        } else {
            if node.Left.Height == 1 && node.Left.Left == nil && node.Left.Right == nil {
                if node.Left.Value < node.Value {
                    // 左节点必须比父亲小
                } else {
                    fmt.Printf("%v,(%#v,%#v) child", node.Value, node.Right, node.Left)
                    return false
                }
            } else {
                fmt.Printf("%v,(%#v,%#v) child", node.Value, node.Right, node.Left)
                return false
            }
        }
    }
    return true
}
func main() {
    values := []int64{2, 3, 7, 10, 10, 10, 10, 23, 9, 102, 109, 111, 112, 113}
    // 初始化二叉查找树并添加元素
    tree := NewAVLTree()
    for _, v := range values {
        tree.Add(v)
    }
    // 找到最大值或最小值的节点
    fmt.Println("find min value:", tree.FindMinValue())
    fmt.Println("find max value:", tree.FindMaxValue())
    // 查找不存在的99
    node := tree.Find(99)
    if node != nil {
        fmt.Println("find it 99!")
    } else {
        fmt.Println("not find it 99!")
    }
    // 查找存在的9
    node = tree.Find(9)
    if node != nil {
        fmt.Println("find it 9!")
    } else {
        fmt.Println("not find it 9!")
    }
    // 删除存在的9后，再查找9
    tree.Delete(9)
    tree.Delete(10)
    tree.Delete(2)
    tree.Delete(3)
    tree.Add(4)
    tree.Add(3)
    tree.Add(10)
    tree.Delete(111)
    node = tree.Find(9)
    if node != nil {
        fmt.Println("find it 9!")
    } else {
        fmt.Println("not find it 9!")
    }
    // 中序遍历，实现排序
    tree.MidOrder()
    if tree.IsAVLTree() {
        fmt.Println("is a avl tree")
    } else {
        fmt.Println("is not avl tree")
    }
}

运行结果：

find min value: &{2 0 1 <nil> <nil>}
find max value: &{113 0 1 <nil> <nil>}
not find it 99!
find it 9!
not find it 9!
value: 3  tree height: 0
value: 4  tree height: 1
value: 7  tree height: 0
value: 10  tree height: 0
value: 23  tree height: 1
value: 102  tree height: 1
value: 109  tree height: 0
value: 112  tree height: 0
value: 113  tree height: 0
is a avl tree

可以看到，它确实是一棵 AVL 树。

PS：我们的程序是递归程序，如果改写为非递归形式，效率和性能会更好，在此就不实现了，理解AVL树添加和删除的总体思路即可。

八、应用场景

AVL 树作为严格平衡的二叉查找树，在 windows 对进程地址空间的管理被使用到。