4. 常见分布

1. 二项分布：假设试验只有两种结果：成功的概率为 ，失败的概率为 。 则二项分布描述了独立重复地进行 次试验中，成功 次的概率。

   • 概率质量函数：

     

   • 期望：

   • 方差：

   scipy.stats.binom使用n参数指定 ；p参数指定 ；loc参数指定平移

   

2. 泊松分布：泊松分布使用 描述单位时间（或者单位面积）中随机事件发生的平均次数（只知道平均次数，具体次数是个随机变量）。

   • 概率质量函数：

     

     其物理意义是：单位时间内事件发生 次的概率

   • 期望：

   • 方差：

   在二项分布中，如果 很大，而 很小。乘积 可以视作 ，此时二项分布近似于泊松分布。

   泊松分布用于描述单位时间内随机事件发生的次数的分布的情况。

   scipy.stats.poisson使用mu参数来给定 ，使用 loc 参数来平移。

   

3. 用均匀分布模拟泊松分布：

     def make_poisson(lmd,tm):
       '''
       用均匀分布模拟泊松分布。 lmd为 lambda 参数； tm 为时间
       '''
       t=np.random.uniform(0,tm,size=lmd*tm) # 获取 lmd*tm 个事件发生的时刻
       count,tm_edges=np.histogram(t,bins=tm,range=(0,tm))#获取每个单位时间内，事件发生的次数
       max_k= lmd *2 # 要统计的最大次数
       dist,count_edges=np.histogram(count,bins=max_k,range=(0,max_k),density=True)
       x=count_edges[:-1]
       return x,dist,stats.poisson.pmf(x,lmd)

   该函数首先随机性给出了 lmd*tm个事件发生的时间（时间位于区间[0,tm]）内。然后统计每个单位时间区间内，事件发生的次数。然后统计这些次数出现的频率。最后将这个频率与理论上的泊松分布的概率质量函数比较。

   

4. 指数分布：若事件服从泊松分布，则该事件前后两次发生的时间间隔服从指数分布。由于时间间隔是个浮点数，因此指数分布是连续分布。

   • 概率密度函数：， 为时间间隔
   • 期望：
   • 方差：

   在scipy.stats.expon中，scale参数为 ；而loc用于对函数平移

   

5. 用均匀分布模拟指数分布：

    def make_expon(lmd,tm):
       '''
       用均匀分布模拟指数分布。 lmd为 lambda 参数； tm 为时间 
       '''
       t=np.random.uniform(0,tm,size=lmd*tm) # 获取 lmd*tm 个事件发生的时刻
       sorted_t=np.sort(t) #时刻升序排列
       delt_t=sorted_t[1:]-sorted_t[:-1] #间隔序列
       dist,edges=np.histogram(delt_t,bins="auto",density=True)
       x=edges[:-1]
       return x,dist,stats.expon.pdf(x,loc=0,scale=1/lmd) #scale 为 1/lambda

   

6. 伽玛分布：若事件服从泊松分布，则事件第 次发生和第 次发生的时间间隔为伽玛分布。由于时间间隔是个浮点数，因此指数分布是连续分布。

   • 概率密度函数：， 为时间间隔
   • 期望：
   • 方差：

   在scipy.stats.gamma中，scale参数为 ；而loc用于对函数平移，参数a指定了

7. 用均匀分布模拟伽玛分布：

     def make_gamma(lmd,tm,k):
       '''
       用均匀分布模拟伽玛分布。 lmd为 lambda 参数； tm 为时间；k 为 k 参数
       '''
       t=np.random.uniform(0,tm,size=lmd*tm) # 获取 lmd*tm 个事件发生的时刻
       sorted_t=np.sort(t) #时刻升序排列
       delt_t=sorted_t[k:]-sorted_t[:-k] #间隔序列
       dist,edges=np.histogram(delt_t,bins="auto",density=True)
       x=edges[:-1]
       return x,dist,stats.gamma.pdf(x,loc=0,scale=1/lmd,a=k) #scale 为 1/lambda,a 为 k