DP 第二讲 - 三角形最小路径和

在上一篇中，我们通过题目“最长上升子序列” 以及 “最大子序和”，学习了DP（动态规划）在线性关系中的分析方法。这种分析方法，也在运筹学中被称为“线性动态规划”，具体指的是 “目标函数为特定变量的线性函数，约束是这些变量的线性不等式或等式，目的是求目标函数的最大值或最小值”。这点大家作为了解即可，不需要死记，更不要生搬硬套！

在本节中，我们将继续分析一道略微区别于之前的题型，希望可以由此题与之前的题目进行对比论证，进而顺利求解！

01、题目分析

例如，给定三角形：

[
     [2],
    [3,4],
   [6,5,7],
  [4,1,8,3]
]

则自顶向下的最小路径和为 11（即，2 + 3 + 5 + 1 = 11）。

这道题有一定难度哦！如果没有思路请回顾上一篇的学习内容！

不建议直接看题解！

02、题目图解

首先我们分析题目，要找的是三角形最小路径和，这是个啥意思呢？假设我们有一个三角形：[[2], [3,4], [6,5,7]，

[4,1,8,3]]

那从上到下的最小路径和就是2-3-5-1，等于11。

由于我们是使用数组来定义一个三角形，所以便于我们分析，我们将三角形稍微进行改动：

这样相当于我们将整个三角形进行了拉伸。这时候，我们根据题目中给出的条件：每一步只能移动到下一行中相邻

的结点上。其实也就等同于，每一步我们只能往下移动一格或者右下移动一格。将其转化成代码，假如2所在的元

素位置为[0,0]，那我们往下移动就只能移动到[1,0]或者[1,1]的位置上。假如5所在的位置为[2,1]，同样也只能移动

到[3,1]和[3,2]的位置上。如下图所示：

题目明确了之后，现在我们开始进行分析。题目很明显是一个找最优解的问题，并且可以从子问题的最优解进

行构建。所以我们通过动态规划进行求解。首先，我们定义状态：

dp[i][j] : 表示包含第i行j列元素的最小路径和

我们很容易想到可以自顶向下进行分析。并且，无论最后的路径是哪一条，它一定要经过最顶上的元素，即 [0,0]。所以我们需要对 dp[0][0] 进行初始化。

dp[0][0] = [0][0]位置所在的元素值

继续分析，如果我们要求dp[i][j]，那么其一定会从自己头顶上的两个元素移动而来。

如5这个位置的最小路径和，要么是从2-3-5而来，要么是从2-4-5而来。然后取两条路径和中较小的一个即可。进

而我们得到状态转移方程：

dp[i][j] = min(dp[i-1][j-1],dp[i-1][j]) + triangle[i][j]

但是，我们这里会遇到一个问题！除了最顶上的元素之外，

最左边的元素只能从自己头顶而来。（2-3-6-4）

最右边的元素只能从自己左上角而来。（2-4-7-3）

然后，我们观察发现，位于第2行的元素，都是特殊元素（因为都只能从[0,0]的元素走过来）

我们可以直接将其特殊处理，得到：

dp[1][0] = triangle[1][0] + triangle[0][0] dp[1][1] = triangle[1][1] + triangle[0][0]

最后，我们只要找到最后一行元素中，路径和最小的一个，就是我们的答案。即：

l：dp数组长度 result = min(dp[l-1,0]，dp[l-1,1]，dp[l-1,2]….)

综上我们就分析完了，我们总共进行了4步：

1. 定义状态
2. 总结状态转移方程
3. 分析状态转移方程不能满足的特殊情况。
4. 得到最终解

03、Go语言示例

根据以上分析，可以得到代码如下：

func minimumTotal(triangle [][]int) int {
    if len(triangle) < 1 {
        return 0
    }
    if len(triangle) == 1 {
        return triangle[0][0]
    }
    dp := make([][]int, len(triangle))
    for i, arr := range triangle {
        dp[i] = make([]int, len(arr))
    }
    result := 1<<31 - 1
    dp[0][0] = triangle[0][0]
    dp[1][1] = triangle[1][1] + triangle[0][0]
    dp[1][0] = triangle[1][0] + triangle[0][0]
    for i := 2; i < len(triangle); i++ {
        for j := 0; j < len(triangle[i]); j++ {
            if j == 0 {
                dp[i][j] = dp[i-1][j] + triangle[i][j]
            } else if j == (len(triangle[i]) - 1) {
                dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + triangle[i][j]
            } else {
                dp[i][j] = min(dp[i-1][j-1], dp[i-1][j]) + triangle[i][j]
            }
        }  
    }
    for _,k := range dp[len(dp)-1] {
        result = min(result, k)
    }
    return result
}
func min(a, b int) int {
    if a > b {
        return b
    }
    return a
}

运行结果：

运行上面的代码，我们发现使用的内存过大。我们有没有什么办法可以压缩内存呢？通过观察我们发现，在我们

自顶向下的过程中，其实我们只需要使用到上一层中已经累积计算完毕的数据，并且不会再次访问之前的元素数

据。绘制成图如下：

优化后的代码如下：

func minimumTotal(triangle [][]int) int {
    l := len(triangle)
    if l < 1 {
        return 0
    }
    if l == 1 {
        return triangle[0][0]
    }
    result := 1<<31 - 1
    triangle[0][0] = triangle[0][0]
    triangle[1][1] = triangle[1][1] + triangle[0][0]
    triangle[1][0] = triangle[1][0] + triangle[0][0]
    for i := 2; i < l; i++ {
        for j := 0; j < len(triangle[i]); j++ {
            if j == 0 {
                triangle[i][j] = triangle[i-1][j] + triangle[i][j]
            } else if j == (len(triangle[i]) - 1) {
                triangle[i][j] = triangle[i-1][j-1] + triangle[i][j]
            } else {
                triangle[i][j] = min(triangle[i-1][j-1], triangle[i-1][j]) + triangle[i][j]
            }
        }  
    }
    for _,k := range triangle[l-1] {
        result = min(result, k)
    }
    return result
}
func min(a, b int) int {
    if a > b {
        return b
    }
    return a
}

运行结果：