接雨水问题详解

接雨水这道题目挺有意思，在面试题中出现频率还挺高的，本文就来步步优化，讲解一下这道题。

先看一下题目：

如何高效解决接雨水问题 - 图1

就是用一个数组表示一个条形图，问你这个条形图最多能接多少水。

  1. int trap(int[] height);

下面就来由浅入深介绍暴力解法 -> 备忘录解法 -> 双指针解法，在 O(N) 时间 O(1) 空间内解决这个问题。

一、核心思路

我第一次看到这个问题，无计可施，完全没有思路，相信很多朋友跟我一样。所以对于这种问题，我们不要想整体，而应该去想局部；就像之前的文章处理字符串问题，不要考虑如何处理整个字符串，而是去思考应该如何处理每一个字符。

这么一想，可以发现这道题的思路其实很简单。具体来说，仅仅对于位置 i，能装下多少水呢？

如何高效解决接雨水问题 - 图2

能装 2 格水。为什么恰好是两格水呢？因为 height[i] 的高度为 0，而这里最多能盛 2 格水，2-0=2。

为什么位置 i 最多能盛 2 格水呢？因为，位置 i 能达到的水柱高度和其左边的最高柱子、右边的最高柱子有关，我们分别称这两个柱子高度为 l_max 和 r_max；位置 i 最大的水柱高度就是 min(l_max, r_max)。

更进一步，对于位置 i，能够装的水为：

  1. water[i] = min(
  2.                # 左边最高的柱子
  3.                max(height[0..i]),  
  4.                # 右边最高的柱子
  5.                max(height[i..end]) 
  6.             ) - height[i]

如何高效解决接雨水问题 - 图3

如何高效解决接雨水问题 - 图4

这就是本问题的核心思路，我们可以简单写一个暴力算法：

  1. int trap(vector<int>& height) {
  2.     int n = height.size();
  3.     int ans = 0;
  4.     for (int i = 1; i < n - 1; i++) {
  5.         int l_max = 0, r_max = 0;
  6.         // 找右边最高的柱子
  7.         for (int j = i; j < n; j++)
  8.             r_max = max(r_max, height[j]);
  9.         // 找左边最高的柱子
  10.         for (int j = i; j >= 0; j--)
  11.             l_max = max(l_max, height[j]);
  12.         // 如果自己就是最高的话，
  13.         // l_max == r_max == height[i]
  14.         ans += min(l_max, r_max) - height[i];
  15.     }
  16.     return ans;
  17. }

有之前的思路，这个解法应该是很直接粗暴的，时间复杂度 O(N^2)，空间复杂度 O(1)。但是很明显这种计算 r_max 和 l_max 的方式非常笨拙，一般的优化方法就是备忘录。

二、备忘录优化

之前的暴力解法，不是在每个位置 i 都要计算 r_max 和 l_max 吗？我们直接把结果都缓存下来，别傻不拉几的每次都遍历，这时间复杂度不就降下来了嘛。

我们开两个数组 r_max 和 l_max 充当备忘录，l_max[i] 表示位置 i 左边最高的柱子高度，r_max[i] 表示位置 i 右边最高的柱子高度。预先把这两个数组计算好，避免重复计算：

  1. int trap(vector<int>& height) {
  2.     if (height.empty()) return 0;
  3.     int n = height.size();
  4.     int ans = 0;
  5.     // 数组充当备忘录
  6.     vector<int> l_max(n), r_max(n);
  7.     // 初始化 base case
  8.     l_max[0] = height[0];
  9.     r_max[n - 1] = height[n - 1];
  10.     // 从左向右计算 l_max
  11.     for (int i = 1; i < n; i++)
  12.         l_max[i] = max(height[i], l_max[i - 1]);
  13.     // 从右向左计算 r_max
  14.     for (int i = n - 2; i >= 0; i--) 
  15.         r_max[i] = max(height[i], r_max[i + 1]);
  16.     // 计算答案
  17.     for (int i = 1; i < n - 1; i++) 
  18.         ans += min(l_max[i], r_max[i]) - height[i];
  19.     return ans;
  20. }

这个优化其实和暴力解法差不多，就是避免了重复计算，把时间复杂度降低为 O(N)，已经是最优了，但是空间复杂度是 O(N)。下面来看一个精妙一些的解法，能够把空间复杂度降低到 O(1)。

三、双指针解法

这种解法的思路是完全相同的，但在实现手法上非常巧妙，我们这次也不要用备忘录提前计算了，而是用双指针边走边算，节省下空间复杂度。

首先，看一部分代码：

  1. int trap(vector<int>& height) {
  2.     int n = height.size();
  3.     int left = 0, right = n - 1;
  5.     int l_max = height[0];
  6.     int r_max = height[n - 1];
  8.     while (left <= right) {
  9.         l_max = max(l_max, height[left]);
  10.         r_max = max(r_max, height[right]);
  11.         left++; right--;
  12.     }
  13. }

对于这部分代码，请问 l_max 和 r_max 分别表示什么意义呢？

很容易理解，l_max 是 height[0..left] 中最高柱子的高度，r_max 是 height[right..end] 的最高柱子的高度。

明白了这一点，直接看解法：

  1. int trap(vector<int>& height) {
  2.     if (height.empty()) return 0;
  3.     int n = height.size();
  4.     int left = 0, right = n - 1;
  5.     int ans = 0;
  7.     int l_max = height[0];
  8.     int r_max = height[n - 1];
  10.     while (left <= right) {
  11.         l_max = max(l_max, height[left]);
  12.         r_max = max(r_max, height[right]);
  14.         // ans += min(l_max, r_max) - height[i]
  15.         if (l_max < r_max) {
  16.             ans += l_max - height[left];
  17.             left++; 
  18.         } else {
  19.             ans += r_max - height[right];
  20.             right--;
  21.         }
  22.     }
  23.     return ans;
  24. }

你看，其中的核心思想和之前一模一样，换汤不换药。但是细心的读者可能会发现次解法还是有点细节差异：

之前的备忘录解法，l_max[i] 和 r_max[i] 代表的是 height[0..i] 和 height[i..end] 的最高柱子高度。

  1. ans += min(l_max[i], r_max[i]) - height[i];

如何高效解决接雨水问题 - 图5

但是双指针解法中，l_max 和 r_max 代表的是 height[0..left] 和 height[right..end] 的最高柱子高度。比如这段代码：

  1. if (l_max < r_max) {
  2.     ans += l_max - height[left];
  3.     left++; 
  4. }

如何高效解决接雨水问题 - 图6

此时的 l_max 是 left 指针左边的最高柱子，但是 r_max 并不一定是 left 指针右边最高的柱子，这真的可以得到正确答案吗？

其实这个问题要这么思考，我们只在乎 min(l_max, r_max)。对于上图的情况，我们已经知道 l_max < r_max 了，至于这个 r_max 是不是右边最大的，不重要，重要的是 height[i] 能够装的水只和 l_max 有关。

如何高效解决接雨水问题 - 图7

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