二分查找高效判定子序列

二分查找本身不难理解，难在巧妙地运用二分查找技巧。对于一个问题，你可能都很难想到它跟二分查找有关，比如前文 最长递增子序列 就借助一个纸牌游戏衍生出二分查找解法。

今天再讲一道巧用二分查找的算法问题：如何判定字符串 s 是否是字符串 t 的子序列（可以假定 s 长度比较小，且 t 的长度非常大）。举两个例子：

s = “abc”, t = “ahbgdc“, return true.

s = “axc”, t = “ahbgdc”, return false.

题目很容易理解，而且看起来很简单，但很难想到这个问题跟二分查找有关吧？

一、问题分析

首先，一个很简单的解法是这样的：

  1. bool isSubsequence(string s, string t) {
  2.     int i = 0, j = 0;
  3.     while (i < s.size() && j < t.size()) {
  4.         if (s[i] == t[j]) i++;
  5.         j++;
  6.     }
  7.     return i == s.size();
  8. }

其思路也非常简单，利用双指针 i, j 分别指向 s, t，一边前进一边匹配子序列：

gif

读者也许会问，这不就是最优解法了吗，时间复杂度只需 O(N)，N 为 t 的长度。

是的，如果仅仅是这个问题，这个解法就够好了，不过这个问题还有 follow up：

如果给你一系列字符串 s1,s2,... 和字符串 t，你需要判定每个串 s 是否是 t 的子序列（可以假定 s 较短，t 很长）。

  1. boolean[] isSubsequence(String[] sn, String t);

你也许会问，这不是很简单吗，还是刚才的逻辑，加个 for 循环不就行了？

可以，但是此解法处理每个 s 时间复杂度仍然是 O(N)，而如果巧妙运用二分查找，可以将时间复杂度降低，大约是 O(MlogN)。由于 N 相对 M 大很多，所以后者效率会更高。

二、二分思路

二分思路主要是对 t 进行预处理，用一个字典 index 将每个字符出现的索引位置按顺序存储下来：

  1. int m = s.length(), n = t.length();
  2. ArrayList<Integer>[] index = new ArrayList[256];
  3. // 先记下 t 中每个字符出现的位置
  4. for (int i = 0; i < n; i++) {
  5.     char c = t.charAt(i);
  6.     if (index[c] == null) 
  7.         index[c] = new ArrayList<>();
  8.     index[c].add(i);
  9. }

二分查找高效判定子序列 - 图2

比如对于这个情况，匹配了 “ab”，应该匹配 “c” 了：

二分查找高效判定子序列 - 图3

按照之前的解法，我们需要 j 线性前进扫描字符 “c”，但借助 index 中记录的信息，可以二分搜索 index[c] 中比 j 大的那个索引，在上图的例子中，就是在 [0,2,6] 中搜索比 4 大的那个索引：

二分查找高效判定子序列 - 图4

这样就可以直接得到下一个 “c” 的索引。现在的问题就是，如何用二分查找计算那个恰好比 4 大的索引呢？答案是，寻找左侧边界的二分搜索就可以做到。

三、再谈二分查找

在前文 二分查找详解 中，详解了如何正确写出三种二分查找算法的细节。二分查找返回目标值 val 的索引，对于搜索左侧边界的二分查找，有一个特殊性质：

当 val 不存在时，得到的索引恰好是比 val 大的最小元素索引。

什么意思呢，就是说如果在数组 [0,1,3,4] 中搜索元素 2，算法会返回索引 2，也就是元素 3 的位置，元素 3 是数组中大于 2 的最小元素。所以我们可以利用二分搜索避免线性扫描。

  1. // 查找左侧边界的二分查找
  2. int left_bound(ArrayList<Integer> arr, int tar) {
  3.     int lo = 0, hi = arr.size();
  4.     while (lo < hi) {
  5.         int mid = lo + (hi - lo) / 2;
  6.         if (tar > arr.get(mid)) {
  7.             lo = mid + 1;
  8.         } else {
  9.             hi = mid;
  10.         } 
  11.     }
  12.     return lo;
  13. }

以上就是搜索左侧边界的二分查找，等会儿会用到，其中的细节可以参见前文《二分查找详解》，这里不再赘述。

四、代码实现

这里以单个字符串 s 为例，对于多个字符串 s，可以把预处理部分抽出来。

  1. boolean isSubsequence(String s, String t) {
  2.     int m = s.length(), n = t.length();
  3.     // 对 t 进行预处理
  4.     ArrayList<Integer>[] index = new ArrayList[256];
  5.     for (int i = 0; i < n; i++) {
  6.         char c = t.charAt(i);
  7.         if (index[c] == null) 
  8.             index[c] = new ArrayList<>();
  9.         index[c].add(i);
  10.     }
  12.     // 串 t 上的指针
  13.     int j = 0;
  14.     // 借助 index 查找 s[i]
  15.     for (int i = 0; i < m; i++) {
  16.         char c = s.charAt(i);
  17.         // 整个 t 压根儿没有字符 c
  18.         if (index[c] == null) return false;
  19.         int pos = left_bound(index[c], j);
  20.         // 二分搜索区间中没有找到字符 c
  21.         if (pos == index[c].size()) return false;
  22.         // 向前移动指针 j
  23.         j = index[c].get(pos) + 1;
  24.     }
  25.     return true;
  26. }

算法执行的过程是这样的：

二分查找高效判定子序列 - 图5

可见借助二分查找，算法的效率是可以大幅提升的。

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