twoSum问题的核心思想

Two Sum 系列问题在 LeetCode 上有好几道，这篇文章就挑出有代表性的几道，介绍一下这种问题怎么解决。

TwoSum I

这个问题的最基本形式是这样：给你一个数组和一个整数 target，可以保证数组中存在两个数的和为 target，请你返回这两个数的索引。

比如输入 nums = [3,1,3,6], target = 6，算法应该返回数组 [0,2]，因为 3 + 3 = 6。

这个问题如何解决呢？首先最简单粗暴的办法当然是穷举了：

  1. int[] twoSum(int[] nums, int target) {
  3.     for (int i = 0; i < nums.length; i++) 
  4.         for (int j = i + 1; j < nums.length; j++) 
  5.             if (nums[j] == target - nums[i]) 
  6.                 return new int[] { i, j };
  8.     // 不存在这么两个数
  9.     return new int[] {-1, -1};
  10. }

这个解法非常直接，时间复杂度 O(N^2)，空间复杂度 O(1)。

可以通过一个哈希表减少时间复杂度：

  1. int[] twoSum(int[] nums, int target) {
  2.     int n = nums.length;
  3.     index<Integer, Integer> index = new HashMap<>();
  4.     // 构造一个哈希表：元素映射到相应的索引
  5.     for (int i = 0; i < n; i++)
  6.         index.put(nums[i], i);
  8.     for (int i = 0; i < n; i++) {
  9.         int other = target - nums[i];
  10.         // 如果 other 存在且不是 nums[i] 本身
  11.         if (index.containsKey(other) && index.get(other) != i)
  12.             return new int[] {i, index.get(other)};
  13.     }
  15.     return new int[] {-1, -1};
  16. }

这样，由于哈希表的查询时间为 O(1)，算法的时间复杂度降低到 O(N)，但是需要 O(N) 的空间复杂度来存储哈希表。不过综合来看，是要比暴力解法高效的。

我觉得 Two Sum 系列问题就是想教我们如何使用哈希表处理问题。我们接着往后看。

TwoSum II

这里我们稍微修改一下上面的问题。我们设计一个类，拥有两个 API：

  1. class TwoSum {
  2.     // 向数据结构中添加一个数 number
  3.     public void add(int number);
  4.     // 寻找当前数据结构中是否存在两个数的和为 value
  5.     public boolean find(int value);
  6. }

如何实现这两个 API 呢，我们可以仿照上一道题目，使用一个哈希表辅助 find 方法：

  1. class TwoSum {
  2.     Map<Integer, Integer> freq = new HashMap<>();
  4.     public void add(int number) {
  5.         // 记录 number 出现的次数
  6.         freq.put(number, freq.getOrDefault(number, 0) + 1);
  7.     }
  9.     public boolean find(int value) {
  10.         for (Integer key : freq.keySet()) {
  11.             int other = value - key;
  12.             // 情况一
  13.             if (other == key && freq.get(key) > 1)
  14.                 return true;
  15.             // 情况二
  16.             if (other != key && freq.containsKey(other))
  17.                 return true;
  18.         }
  19.         return false;
  20.     }
  21. }

进行 find 的时候有两种情况，举个例子：

情况一：add 了 [3,3,2,5] 之后，执行 find(6)，由于 3 出现了两次，3 + 3 = 6，所以返回 true。

情况二：add 了 [3,3,2,5] 之后，执行 find(7)，那么 key 为 2，other 为 5 时算法可以返回 true。

除了上述两种情况外，find 只能返回 false 了。

对于这个解法的时间复杂度呢，add 方法是 O(1)，find 方法是 O(N)，空间复杂度为 O(N)，和上一道题目比较类似。

但是对于 API 的设计，是需要考虑现实情况的。比如说，我们设计的这个类，使用 find 方法非常频繁，那么每次都要 O(N) 的时间，岂不是很浪费费时间吗？对于这种情况，我们是否可以做些优化呢？

是的，对于频繁使用 find 方法的场景，我们可以进行优化。我们可以参考上一道题目的暴力解法，借助哈希集合来针对性优化 find 方法：

  1. class TwoSum {
  2.     Set<Integer> sum = new HashSet<>();
  3.     List<Integer> nums = new ArrayList<>();
  5.     public void add(int number) {
  6.         // 记录所有可能组成的和
  7.         for (int n : nums)
  8.             sum.add(n + number);
  9.         nums.add(number);
  10.     }
  12.     public boolean find(int value) {
  13.         return sum.contains(value);
  14.     }
  15. }

这样 sum 中就储存了所有加入数字可能组成的和，每次 find 只要花费 O(1) 的时间在集合中判断一下是否存在就行了，显然非常适合频繁使用 find 的场景。

三、总结

对于 TwoSum 问题，一个难点就是给的数组无序。对于一个无序的数组，我们似乎什么技巧也没有，只能暴力穷举所有可能。

一般情况下，我们会首先把数组排序再考虑双指针技巧。TwoSum 启发我们，HashMap 或者 HashSet 也可以帮助我们处理无序数组相关的简单问题。

另外，设计的核心在于权衡，利用不同的数据结构，可以得到一些针对性的加强。

最后，如果 TwoSum I 中给的数组是有序的，应该如何编写算法呢？答案很简单，前文「双指针技巧汇总」写过：

  1. int[] twoSum(int[] nums, int target) {
  2.     int left = 0, right = nums.length - 1;
  3.     while (left < right) {
  4.         int sum = nums[left] + nums[right];
  5.         if (sum == target) {
  6.             return new int[]{left, right};
  7.         } else if (sum < target) {
  8.             left++; // 让 sum 大一点
  9.         } else if (sum > target) {
  10.             right--; // 让 sum 小一点
  11.         }
  12.     }
  13.     // 不存在这样两个数
  14.     return new int[]{-1, -1};
  15. }

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