经典动态规划问题：高楼扔鸡蛋（进阶）

上篇文章聊了高楼扔鸡蛋问题，讲了一种效率不是很高，但是较为容易理解的动态规划解法。后台很多读者问如何更高效地解决这个问题，今天就谈两种思路，来优化一下这个问题，分别是二分查找优化和重新定义状态转移。

如果还不知道高楼扔鸡蛋问题的读者可以看下「经典动态规划：高楼扔鸡蛋」，那篇文章详解了题目的含义和基本的动态规划解题思路，请确保理解前文，因为今天的优化都是基于这个基本解法的。

二分搜索的优化思路也许是我们可以尽力尝试写出的，而修改状态转移的解法可能是不容易想到的，可以借此见识一下动态规划算法设计的玄妙，当做思维拓展。

二分搜索优化

之前提到过这个解法，核心是因为状态转移方程的单调性，这里可以具体展开看看。

首先简述一下原始动态规划的思路：

1、暴力穷举尝试在所有楼层 1 <= i <= N 扔鸡蛋，每次选择尝试次数最少的那一层；

2、每次扔鸡蛋有两种可能，要么碎，要么没碎；

3、如果鸡蛋碎了，F 应该在第 i 层下面，否则，F 应该在第 i 层上面；

4、鸡蛋是碎了还是没碎，取决于哪种情况下尝试次数更多，因为我们想求的是最坏情况下的结果。

核心的状态转移代码是这段：

  1. # 当前状态为 K 个鸡蛋，面对 N 层楼
  2. # 返回这个状态下的最优结果
  3. def dp(K, N):
  4.     for 1 <= i <= N:
  5.         # 最坏情况下的最少扔鸡蛋次数
  6.         res = min(res, 
  7.                   max( 
  8.                         dp(K - 1, i - 1), # 碎
  9.                         dp(K, N - i)      # 没碎
  10.                      ) + 1 # 在第 i 楼扔了一次
  11.                  )
  12.     return res

这个 for 循环就是下面这个状态转移方程的具体代码实现：

dp(K, N) = \min_{0 <= i <= N}{\max{dp(K - 1, i - 1), dp(K, N - i)} + 1}

如果能够理解这个状态转移方程，那么就很容易理解二分查找的优化思路。

首先我们根据 dp(K, N) 数组的定义（有 K 个鸡蛋面对 N 层楼，最少需要扔几次），很容易知道 K 固定时，这个函数随着 N 的增加一定是单调递增的，无论你策略多聪明，楼层增加测试次数一定要增加。

那么注意 dp(K - 1, i - 1) 和 dp(K, N - i) 这两个函数，其中 i 是从 1 到 N 单增的，如果我们固定 K 和 N，把这两个函数看做关于 i 的函数，前者随着 i 的增加应该也是单调递增的，而后者随着 i 的增加应该是单调递减的：

经典动态规划问题：高楼扔鸡蛋（进阶） - 图1

这时候求二者的较大值，再求这些最大值之中的最小值，其实就是求这两条直线交点，也就是红色折线的最低点嘛。

我们前文「二分查找只能用来查找元素吗」讲过，二分查找的运用很广泛，形如下面这种形式的 for 循环代码：

  1. for (int i = 0; i < n; i++) {
  2.     if (isOK(i))
  3.         return i;
  4. }

都很有可能可以运用二分查找来优化线性搜索的复杂度，回顾这两个 dp 函数的曲线，我们要找的最低点其实就是这种情况：

  1. for (int i = 1; i <= N; i++) {
  2.     if (dp(K - 1, i - 1) == dp(K, N - i))
  3.         return dp(K, N - i);
  4. }

熟悉二分搜索的同学肯定敏感地想到了，这不就是相当于求 Valley（山谷）值嘛，可以用二分查找来快速寻找这个点的，直接看代码吧，整体的思路还是一样，只是加快了搜索速度：

  1. def superEggDrop(self, K: int, N: int) -> int:
  3.     memo = dict()
  4.     def dp(K, N):
  5.         if K == 1: return N
  6.         if N == 0: return 0
  7.         if (K, N) in memo:
  8.             return memo[(K, N)]
  10.         # for 1 <= i <= N:
  11.         #     res = min(res, 
  12.         #             max( 
  13.         #                 dp(K - 1, i - 1), 
  14.         #                 dp(K, N - i)      
  15.         #                 ) + 1 
  16.         #             )
  18.         res = float('INF')
  19.         # 用二分搜索代替线性搜索
  20.         lo, hi = 1, N
  21.         while lo <= hi:
  22.             mid = (lo + hi) // 2
  23.             broken = dp(K - 1, mid - 1) # 碎
  24.             not_broken = dp(K, N - mid) # 没碎
  25.             # res = min(max(碎，没碎) + 1)
  26.             if broken > not_broken:
  27.                 hi = mid - 1
  28.                 res = min(res, broken + 1)
  29.             else:
  30.                 lo = mid + 1
  31.                 res = min(res, not_broken + 1)
  33.         memo[(K, N)] = res
  34.         return res
  36.     return dp(K, N)

这个算法的时间复杂度是多少呢？动态规划算法的时间复杂度就是子问题个数 × 函数本身的复杂度。

函数本身的复杂度就是忽略递归部分的复杂度，这里 dp 函数中用了一个二分搜索，所以函数本身的复杂度是 O(logN)。

子问题个数也就是不同状态组合的总数，显然是两个状态的乘积，也就是 O(KN)。

所以算法的总时间复杂度是 O(K*N*logN), 空间复杂度 O(KN)。效率上比之前的算法 O(KN^2) 要高效一些。

重新定义状态转移

前文「不同定义有不同解法」就提过，找动态规划的状态转移本就是见仁见智，比较玄学的事情，不同的状态定义可以衍生出不同的解法，其解法和复杂程度都可能有巨大差异。这里就是一个很好的例子。

再回顾一下我们之前定义的 dp 数组含义：

  1. def dp(k, n) -> int
  2. # 当前状态为 k 个鸡蛋，面对 n 层楼
  3. # 返回这个状态下最少的扔鸡蛋次数

用 dp 数组表示的话也是一样的：

  1. dp[k][n] = m
  2. # 当前状态为 k 个鸡蛋，面对 n 层楼
  3. # 这个状态下最少的扔鸡蛋次数为 m

按照这个定义，就是确定当前的鸡蛋个数和面对的楼层数，就知道最小扔鸡蛋次数。最终我们想要的答案就是 dp(K, N) 的结果。

这种思路下，肯定要穷举所有可能的扔法的，用二分搜索优化也只是做了「剪枝」，减小了搜索空间，但本质思路没有变，还是穷举。

现在，我们稍微修改 dp 数组的定义，确定当前的鸡蛋个数和最多允许的扔鸡蛋次数，就知道能够确定 F 的最高楼层数。具体来说是这个意思：

  1. dp[k][m] = n
  2. # 当前有 k 个鸡蛋，可以尝试扔 m 次鸡蛋
  3. # 这个状态下，最坏情况下最多能确切测试一栋 n 层的楼
  5. # 比如说 dp[1][7] = 7 表示：
  6. # 现在有 1 个鸡蛋，允许你扔 7 次;
  7. # 这个状态下最多给你 7 层楼，
  8. # 使得你可以确定楼层 F 使得鸡蛋恰好摔不碎
  9. # （一层一层线性探查嘛）

这其实就是我们原始思路的一个「反向」版本，我们先不管这种思路的状态转移怎么写，先来思考一下这种定义之下，最终想求的答案是什么？

我们最终要求的其实是扔鸡蛋次数 m，但是这时候 m 在状态之中而不是 dp 数组的结果，可以这样处理：

  1. int superEggDrop(int K, int N) {
  3.     int m = 0;
  4.     while (dp[K][m] < N) {
  5.         m++;
  6.         // 状态转移...
  7.     }
  8.     return m;
  9. }

题目不是给你 K 鸡蛋，N 层楼，让你求最坏情况下最少的测试次数 m 吗？while 循环结束的条件是 dp[K][m] == N，也就是给你 K 个鸡蛋，测试 m 次，最坏情况下最多能测试 N 层楼。

注意看这两段描述，是完全一样的！所以说这样组织代码是正确的，关键就是状态转移方程怎么找呢？还得从我们原始的思路开始讲。之前的解法配了这样图帮助大家理解状态转移思路：

经典动态规划问题：高楼扔鸡蛋（进阶） - 图2

这个图描述的仅仅是某一个楼层 i，原始解法还得线性或者二分扫描所有楼层，要求最大值、最小值。但是现在这种 dp 定义根本不需要这些了，基于下面两个事实：

1、无论你在哪层楼扔鸡蛋，鸡蛋只可能摔碎或者没摔碎，碎了的话就测楼下，没碎的话就测楼上。

2、无论你上楼还是下楼，总的楼层数 = 楼上的楼层数 + 楼下的楼层数 + 1（当前这层楼）。

根据这个特点，可以写出下面的状态转移方程：

dp[k][m] = dp[k][m - 1] + dp[k - 1][m - 1] + 1

dp[k][m - 1] 就是楼上的楼层数，因为鸡蛋个数 k 不变，也就是鸡蛋没碎，扔鸡蛋次数 m 减一；

dp[k - 1][m - 1] 就是楼下的楼层数，因为鸡蛋个数 k 减一，也就是鸡蛋碎了，同时扔鸡蛋次数 m 减一。

PS：这个 m 为什么要减一而不是加一？之前定义得很清楚，这个 m 是一个允许的次数上界，而不是扔了几次。

经典动态规划问题：高楼扔鸡蛋（进阶） - 图3

至此，整个思路就完成了，只要把状态转移方程填进框架即可：

  1. int superEggDrop(int K, int N) {
  2.     // m 最多不会超过 N 次（线性扫描）
  3.     int[][] dp = new int[K + 1][N + 1];
  4.     // base case:
  5.     // dp[0][..] = 0
  6.     // dp[..][0] = 0
  7.     // Java 默认初始化数组都为 0
  8.     int m = 0;
  9.     while (dp[K][m] < N) {
  10.         m++;
  11.         for (int k = 1; k <= K; k++)
  12.             dp[k][m] = dp[k][m - 1] + dp[k - 1][m - 1] + 1;
  13.     }
  14.     return m;
  15. }

如果你还觉得这段代码有点难以理解，其实它就等同于这样写：

  1. for (int m = 1; dp[K][m] < N; m++)
  2.     for (int k = 1; k <= K; k++)
  3.         dp[k][m] = dp[k][m - 1] + dp[k - 1][m - 1] + 1;

看到这种代码形式就熟悉多了吧，因为我们要求的不是 dp 数组里的值，而是某个符合条件的索引 m，所以用 while 循环来找到这个 m 而已。

这个算法的时间复杂度是多少？很明显就是两个嵌套循环的复杂度 O(KN)。

另外注意到 dp[m][k] 转移只和左边和左上的两个状态有关，所以很容易优化成一维 dp 数组，这里就不写了。

还可以再优化

再往下就要用一些数学方法了，不具体展开，就简单提一下思路吧。

在刚才的思路之上，注意函数 dp(m, k) 是随着 m 单增的，因为鸡蛋个数 k 不变时，允许的测试次数越多，可测试的楼层就越高。

这里又可以借助二分搜索算法快速逼近 dp[K][m] == N 这个终止条件，时间复杂度进一步下降为 O(KlogN)，我们可以设 g(k, m) =……

算了算了，打住吧。我觉得我们能够写出 O(K*N*logN) 的二分优化算法就行了，后面的这些解法呢，听个响鼓个掌就行了，把欲望限制在能力的范围之内才能拥有快乐！

不过可以肯定的是，根据二分搜索代替线性扫描 m 的取值，代码的大致框架肯定是修改穷举 m 的 for 循环：

  1. // 把线性搜索改成二分搜索
  2. // for (int m = 1; dp[K][m] < N; m++)
  3. int lo = 1, hi = N;
  4. while (lo < hi) {
  5.     int mid = (lo + hi) / 2;
  6.     if (... < N) {
  7.         lo = ...
  8.     } else {
  9.         hi = ...
  10.     }
  12.     for (int k = 1; k <= K; k++)
  13.         // 状态转移方程
  14. }

简单总结一下吧，第一个二分优化是利用了 dp 函数的单调性，用二分查找技巧快速搜索答案；第二种优化是巧妙地修改了状态转移方程，简化了求解了流程，但相应的，解题逻辑比较难以想到；后续还可以用一些数学方法和二分搜索进一步优化第二种解法，不过看了看镜子中的发量，算了。

本文终，希望对你有一点启发。

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