LRU算法详解

一、什么是 LRU 算法

就是一种缓存淘汰策略。

计算机的缓存容量有限，如果缓存满了就要删除一些内容，给新内容腾位置。但问题是，删除哪些内容呢？我们肯定希望删掉哪些没什么用的缓存，而把有用的数据继续留在缓存里，方便之后继续使用。那么，什么样的数据，我们判定为「有用的」的数据呢？

LRU 缓存淘汰算法就是一种常用策略。LRU 的全称是 Least Recently Used，也就是说我们认为最近使用过的数据应该是是「有用的」，很久都没用过的数据应该是无用的，内存满了就优先删那些很久没用过的数据。

举个简单的例子，安卓手机都可以把软件放到后台运行，比如我先后打开了「设置」「手机管家」「日历」，那么现在他们在后台排列的顺序是这样的：

jietu

但是这时候如果我访问了一下「设置」界面，那么「设置」就会被提前到第一个，变成这样：

jietu

假设我的手机只允许我同时开 3 个应用程序，现在已经满了。那么如果我新开了一个应用「时钟」，就必须关闭一个应用为「时钟」腾出一个位置，关那个呢？

按照 LRU 的策略，就关最底下的「手机管家」，因为那是最久未使用的，然后把新开的应用放到最上面：

jietu

现在你应该理解 LRU（Least Recently Used）策略了。当然还有其他缓存淘汰策略，比如不要按访问的时序来淘汰，而是按访问频率（LFU 策略）来淘汰等等，各有应用场景。本文讲解 LRU 算法策略。

二、LRU 算法描述

LRU 算法实际上是让你设计数据结构：首先要接收一个 capacity 参数作为缓存的最大容量，然后实现两个 API，一个是 put(key, val) 方法存入键值对，另一个是 get(key) 方法获取 key 对应的 val，如果 key 不存在则返回 -1。

注意哦，get 和 put 方法必须都是 $O(1)$ 的时间复杂度，我们举个具体例子来看看 LRU 算法怎么工作。

  1. /* 缓存容量为 2 */
  2. LRUCache cache = new LRUCache(2);
  3. // 你可以把 cache 理解成一个队列
  4. // 假设左边是队头，右边是队尾
  5. // 最近使用的排在队头，久未使用的排在队尾
  6. // 圆括号表示键值对 (key, val)
  8. cache.put(1, 1);
  9. // cache = [(1, 1)]
  10. cache.put(2, 2);
  11. // cache = [(2, 2), (1, 1)]
  12. cache.get(1);       // 返回 1
  13. // cache = [(1, 1), (2, 2)]
  14. // 解释：因为最近访问了键 1，所以提前至队头
  15. // 返回键 1 对应的值 1
  16. cache.put(3, 3);
  17. // cache = [(3, 3), (1, 1)]
  18. // 解释：缓存容量已满，需要删除内容空出位置
  19. // 优先删除久未使用的数据，也就是队尾的数据
  20. // 然后把新的数据插入队头
  21. cache.get(2);       // 返回 -1 (未找到)
  22. // cache = [(3, 3), (1, 1)]
  23. // 解释：cache 中不存在键为 2 的数据
  24. cache.put(1, 4);    
  25. // cache = [(1, 4), (3, 3)]
  26. // 解释：键 1 已存在，把原始值 1 覆盖为 4
  27. // 不要忘了也要将键值对提前到队头

三、LRU 算法设计

分析上面的操作过程，要让 put 和 get 方法的时间复杂度为 O(1)，我们可以总结出 cache 这个数据结构必要的条件：查找快，插入快，删除快，有顺序之分。

因为显然 cache 必须有顺序之分，以区分最近使用的和久未使用的数据；而且我们要在 cache 中查找键是否已存在；如果容量满了要删除最后一个数据；每次访问还要把数据插入到队头。

那么，什么数据结构同时符合上述条件呢？哈希表查找快，但是数据无固定顺序；链表有顺序之分，插入删除快，但是查找慢。所以结合一下，形成一种新的数据结构：哈希链表。

LRU 缓存算法的核心数据结构就是哈希链表，双向链表和哈希表的结合体。这个数据结构长这样：

HashLinkedList

思想很简单，就是借助哈希表赋予了链表快速查找的特性嘛：可以快速查找某个 key 是否存在缓存（链表）中，同时可以快速删除、添加节点。回想刚才的例子，这种数据结构是不是完美解决了 LRU 缓存的需求？

也许读者会问，为什么要是双向链表，单链表行不行？另外，既然哈希表中已经存了 key，为什么链表中还要存键值对呢，只存值不就行了？

想的时候都是问题，只有做的时候才有答案。这样设计的原因，必须等我们亲自实现 LRU 算法之后才能理解，所以我们开始看代码吧～

四、代码实现

很多编程语言都有内置的哈希链表或者类似 LRU 功能的库函数，但是为了帮大家理解算法的细节，我们用 Java 自己造轮子实现一遍 LRU 算法。

首先，我们把双链表的节点类写出来，为了简化，key 和 val 都认为是 int 类型：

  1. class Node {
  2.     public int key, val;
  3.     public Node next, prev;
  4.     public Node(int k, int v) {
  5.         this.key = k;
  6.         this.val = v;
  7.     }
  8. }

然后依靠我们的 Node 类型构建一个双链表，实现几个需要的 API（这些操作的时间复杂度均为 $O(1)$)：

  1. class DoubleList {  
  2.     // 在链表头部添加节点 x，时间 O(1)
  3.     public void addFirst(Node x);
  5.     // 删除链表中的 x 节点（x 一定存在）
  6.     // 由于是双链表且给的是目标 Node 节点，时间 O(1)
  7.     public void remove(Node x);
  9.     // 删除链表中最后一个节点，并返回该节点，时间 O(1)
  10.     public Node removeLast();
  12.     // 返回链表长度，时间 O(1)
  13.     public int size();
  14. }

PS：这就是普通双向链表的实现，为了让读者集中精力理解 LRU 算法的逻辑，就省略链表的具体代码。

到这里就能回答刚才“为什么必须要用双向链表”的问题了，因为我们需要删除操作。删除一个节点不光要得到该节点本身的指针，也需要操作其前驱节点的指针，而双向链表才能支持直接查找前驱，保证操作的时间复杂度 $O(1)$。

有了双向链表的实现，我们只需要在 LRU 算法中把它和哈希表结合起来即可。我们先把逻辑理清楚：

  1. // key 映射到 Node(key, val)
  2. HashMap<Integer, Node> map;
  3. // Node(k1, v1) <-> Node(k2, v2)...
  4. DoubleList cache;
  6. int get(int key) {
  7.     if (key 不存在) {
  8.         return -1;
  9.     } else {        
  10.         将数据 (key, val) 提到开头；
  11.         return val;
  12.     }
  13. }
  15. void put(int key, int val) {
  16.     Node x = new Node(key, val);
  17.     if (key 已存在) {
  18.         把旧的数据删除；
  19.         将新节点 x 插入到开头；
  20.     } else {
  21.         if (cache 已满) {
  22.             删除链表的最后一个数据腾位置；
  23.             删除 map 中映射到该数据的键；
  24.         } 
  25.         将新节点 x 插入到开头；
  26.         map 中新建 key 对新节点 x 的映射；
  27.     }
  28. }

如果能够看懂上述逻辑，翻译成代码就很容易理解了：

  1. class LRUCache {
  2.     // key -> Node(key, val)
  3.     private HashMap<Integer, Node> map;
  4.     // Node(k1, v1) <-> Node(k2, v2)...
  5.     private DoubleList cache;
  6.     // 最大容量
  7.     private int cap;
  9.     public LRUCache(int capacity) {
  10.         this.cap = capacity;
  11.         map = new HashMap<>();
  12.         cache = new DoubleList();
  13.     }
  15.     public int get(int key) {
  16.         if (!map.containsKey(key))
  17.             return -1;
  18.         int val = map.get(key).val;
  19.         // 利用 put 方法把该数据提前
  20.         put(key, val);
  21.         return val;
  22.     }
  24.     public void put(int key, int val) {
  25.         // 先把新节点 x 做出来
  26.         Node x = new Node(key, val);
  28.         if (map.containsKey(key)) {
  29.             // 删除旧的节点，新的插到头部
  30.             cache.remove(map.get(key));
  31.             cache.addFirst(x);
  32.             // 更新 map 中对应的数据
  33.             map.put(key, x);
  34.         } else {
  35.             if (cap == cache.size()) {
  36.                 // 删除链表最后一个数据
  37.                 Node last = cache.removeLast();
  38.                 map.remove(last.key);
  39.             }
  40.             // 直接添加到头部
  41.             cache.addFirst(x);
  42.             map.put(key, x);
  43.         }
  44.     }
  45. }

这里就能回答之前的问答题“为什么要在链表中同时存储 key 和 val，而不是只存储 val”，注意这段代码：

  1. if (cap == cache.size()) {
  2.     // 删除链表最后一个数据
  3.     Node last = cache.removeLast();
  4.     map.remove(last.key);
  5. }

当缓存容量已满，我们不仅仅要删除最后一个 Node 节点，还要把 map 中映射到该节点的 key 同时删除，而这个 key 只能由 Node 得到。如果 Node 结构中只存储 val，那么我们就无法得知 key 是什么，就无法删除 map 中的键，造成错误。

至此，你应该已经掌握 LRU 算法的思想和实现了，很容易犯错的一点是：处理链表节点的同时不要忘了更新哈希表中对节点的映射。

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