第2章 k-近邻算法

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KNN 概述

k-近邻（kNN, k-NearestNeighbor）算法是一种基本分类与回归方法，我们这里只讨论分类问题中的 k-近邻算法。

一句话总结：近朱者赤近墨者黑！

k 近邻算法的输入为实例的特征向量，对应于特征空间的点；输出为实例的类别，可以取多类。k 近邻算法假设给定一个训练数据集，其中的实例类别已定。分类时，对新的实例，根据其 k 个最近邻的训练实例的类别，通过多数表决等方式进行预测。因此，k近邻算法不具有显式的学习过程。

k 近邻算法实际上利用训练数据集对特征向量空间进行划分，并作为其分类的“模型”。 k值的选择、距离度量以及分类决策规则是k近邻算法的三个基本要素。

KNN 场景

电影可以按照题材分类，那么如何区分 动作片 和 爱情片 呢？

  1. 动作片：打斗次数更多
  2. 爱情片：亲吻次数更多

基于电影中的亲吻、打斗出现的次数，使用 k-近邻算法构造程序，就可以自动划分电影的题材类型。

电影视频案例

  1. 现在根据上面我们得到的样本集中所有电影与未知电影的距离，按照距离递增排序，可以找到 k 个距离最近的电影。
  2. 假定 k=3，则三个最靠近的电影依次是， He's Not Really into Dudes 、 Beautiful Woman 和 California Man。
  3. knn 算法按照距离最近的三部电影的类型，决定未知电影的类型，而这三部电影全是爱情片，因此我们判定未知电影是爱情片。

KNN 原理

KNN 工作原理

  1. 假设有一个带有标签的样本数据集（训练样本集），其中包含每条数据与所属分类的对应关系。
  2. 输入没有标签的新数据后，将新数据的每个特征与样本集中数据对应的特征进行比较。
    1. 计算新数据与样本数据集中每条数据的距离。
    2. 对求得的所有距离进行排序（从小到大，越小表示越相似）。
    3. 取前 k （k 一般小于等于 20 ）个样本数据对应的分类标签。
  3. 求 k 个数据中出现次数最多的分类标签作为新数据的分类。

KNN 通俗理解

给定一个训练数据集，对新的输入实例，在训练数据集中找到与该实例最邻近的 k 个实例，这 k 个实例的多数属于某个类，就把该输入实例分为这个类。

KNN 开发流程

  1. 收集数据：任何方法
  2. 准备数据：距离计算所需要的数值，最好是结构化的数据格式
  3. 分析数据：任何方法
  4. 训练算法：此步骤不适用于 k-近邻算法
  5. 测试算法：计算错误率
  6. 使用算法：输入样本数据和结构化的输出结果，然后运行 k-近邻算法判断输入数据分类属于哪个分类，最后对计算出的分类执行后续处理

KNN 算法特点

  1. 优点：精度高、对异常值不敏感、无数据输入假定
  2. 缺点：计算复杂度高、空间复杂度高
  3. 适用数据范围：数值型和标称型

KNN 项目案例

项目案例1: 优化约会网站的配对效果

完整代码地址: https://github.com/apachecn/MachineLearning/blob/master/src/py2.x/2.KNN/kNN.py

项目概述

海伦使用约会网站寻找约会对象。经过一段时间之后，她发现曾交往过三种类型的人:

  • 不喜欢的人
  • 魅力一般的人
  • 极具魅力的人

她希望：

  1. 工作日与魅力一般的人约会
  2. 周末与极具魅力的人约会
  3. 不喜欢的人则直接排除掉

现在她收集到了一些约会网站未曾记录的数据信息，这更有助于匹配对象的归类。

开发流程

  1. 收集数据：提供文本文件
  2. 准备数据：使用 Python 解析文本文件
  3. 分析数据：使用 Matplotlib 画二维散点图
  4. 训练算法：此步骤不适用于 k-近邻算法
  5. 测试算法：使用海伦提供的部分数据作为测试样本。
  6.         测试样本和非测试样本的区别在于：
  7.             测试样本是已经完成分类的数据，如果预测分类与实际类别不同，则标记为一个错误。
  8. 使用算法：产生简单的命令行程序，然后海伦可以输入一些特征数据以判断对方是否为自己喜欢的类型。

收集数据：提供文本文件

海伦把这些约会对象的数据存放在文本文件 datingTestSet2.txt 中，总共有 1000 行。海伦约会的对象主要包含以下 3 种特征：

  • 每年获得的飞行常客里程数
  • 玩视频游戏所耗时间百分比
  • 每周消费的冰淇淋公升数

文本文件数据格式如下：

  1. 40920    8.326976    0.953952    3
  2. 14488    7.153469    1.673904    2
  3. 26052    1.441871    0.805124    1
  4. 75136    13.147394    0.428964    1
  5. 38344    1.669788    0.134296    1

准备数据：使用 Python 解析文本文件

将文本记录转换为 NumPy 的解析程序

  1. def file2matrix(filename):
  2.     """
  3.     Desc:
  4.         导入训练数据
  5.     parameters:
  6.         filename: 数据文件路径
  7.     return: 
  8.         数据矩阵 returnMat 和对应的类别 classLabelVector
  9.     """
  10.     fr = open(filename)
  11.     # 获得文件中的数据行的行数
  12.     numberOfLines = len(fr.readlines())
  13.     # 生成对应的空矩阵
  14.     # 例如：zeros(2，3)就是生成一个 2*3的矩阵，各个位置上全是 0 
  15.     returnMat = zeros((numberOfLines, 3))  # prepare matrix to return
  16.     classLabelVector = []  # prepare labels return
  17.     fr = open(filename)
  18.     index = 0
  19.     for line in fr.readlines():
  20.         # str.strip([chars]) --返回已移除字符串头尾指定字符所生成的新字符串
  21.         line = line.strip()
  22.         # 以 '\t' 切割字符串
  23.         listFromLine = line.split('\t')
  24.         # 每列的属性数据
  25.         returnMat[index, :] = listFromLine[0:3]
  26.         # 每列的类别数据，就是 label 标签数据
  27.         classLabelVector.append(int(listFromLine[-1]))
  28.         index += 1
  29.     # 返回数据矩阵returnMat和对应的类别classLabelVector
  30.     return returnMat, classLabelVector

分析数据：使用 Matplotlib 画二维散点图

  1. import matplotlib
  2. import matplotlib.pyplot as plt
  3. fig = plt.figure()
  4. ax = fig.add_subplot(111)
  5. ax.scatter(datingDataMat[:, 0], datingDataMat[:, 1], 15.0*array(datingLabels), 15.0*array(datingLabels))
  6. plt.show()

下图中采用矩阵的第一和第二列属性得到很好的展示效果，清晰地标识了三个不同的样本分类区域，具有不同爱好的人其类别区域也不同。

Matplotlib 散点图

序号 玩视频游戏所耗时间百分比 每年获得的飞行常客里程数 每周消费的冰淇淋公升数 样本分类
1 0.8 400 0.5 1
2 12 134 000 0.9 3
3 0 20 000 1.1 2
4 67 32 000 0.1 2

样本3和样本4的距离：
\sqrt{(0-67)^2 + (20000-32000)^2 + (1.1-0.1)^2 }

归一化特征值，消除特征之间量级不同导致的影响

归一化定义： 我是这样认为的，归一化就是要把你需要处理的数据经过处理后（通过某种算法）限制在你需要的一定范围内。首先归一化是为了后面数据处理的方便，其次是保正程序运行时收敛加快。 方法有如下：

1) 线性函数转换，表达式如下：　　

  1. y=(x-MinValue)/(MaxValue-MinValue)　　
  3. 说明：x、y分别为转换前、后的值，MaxValue、MinValue分别为样本的最大值和最小值。　　

2) 对数函数转换，表达式如下：　　

  1. y=log10(x)　　
  3. 说明：以10为底的对数函数转换。
  5. 如图：
  7. ![对数函数图像](../images/2.KNN/knn_1.png)

3) 反余切函数转换，表达式如下：

  1. y=arctan(x)*2/PI　
  3. 如图：
  5. ![反余切函数图像](../images/2.KNN/arctan_arccot.gif)

4) 式(1)将输入值换算为[-1,1]区间的值，在输出层用式(2)换算回初始值，其中和分别表示训练样本集中负荷的最大值和最小值。　

在统计学中，归一化的具体作用是归纳统一样本的统计分布性。归一化在0-1之间是统计的概率分布，归一化在-1—+1之间是统计的坐标分布。

  1. def autoNorm(dataSet):
  2.     """
  3.     Desc:
  4.         归一化特征值，消除特征之间量级不同导致的影响
  5.     parameter:
  6.         dataSet: 数据集
  7.     return:
  8.         归一化后的数据集 normDataSet. ranges和minVals即最小值与范围，并没有用到
  10.     归一化公式：
  11.         Y = (X-Xmin)/(Xmax-Xmin)
  12.         其中的 min 和 max 分别是数据集中的最小特征值和最大特征值。该函数可以自动将数字特征值转化为0到1的区间。
  13.     """
  14.     # 计算每种属性的最大值、最小值、范围
  15.     minVals = dataSet.min(0)
  16.     maxVals = dataSet.max(0)
  17.     # 极差
  18.     ranges = maxVals - minVals
  19.     normDataSet = zeros(shape(dataSet))
  20.     m = dataSet.shape[0]
  21.     # 生成与最小值之差组成的矩阵
  22.     normDataSet = dataSet - tile(minVals, (m, 1))
  23.     # 将最小值之差除以范围组成矩阵
  24.     normDataSet = normDataSet / tile(ranges, (m, 1))  # element wise divide
  25.     return normDataSet, ranges, minVals

训练算法：此步骤不适用于 k-近邻算法

因为测试数据每一次都要与全量的训练数据进行比较，所以这个过程是没有必要的。

kNN 算法伪代码：

  1. 对于每一个在数据集中的数据点：
  2.     计算目标的数据点（需要分类的数据点）与该数据点的距离
  3.     将距离排序：从小到大
  4.     选取前K个最短距离
  5.     选取这K个中最多的分类类别
  6.     返回该类别来作为目标数据点的预测值
  1. def classify0(inX, dataSet, labels, k):
  2.     dataSetSize = dataSet.shape[0]
  3.     #距离度量 度量公式为欧氏距离
  4.     diffMat = tile(inX, (dataSetSize,1)) – dataSet
  5.     sqDiffMat = diffMat**2
  6.     sqDistances = sqDiffMat.sum(axis=1)
  7.     distances = sqDistances**0.5
  9.     #将距离排序：从小到大
  10.     sortedDistIndicies = distances.argsort()
  11.     #选取前K个最短距离， 选取这K个中最多的分类类别
  12.     classCount={}
  13.     for i in range(k)：
  14.         voteIlabel = labels[sortedDistIndicies[i]]
  15.         classCount[voteIlabel] = classCount.get(voteIlabel,0) + 1 
  16.     sortedClassCount = sorted(classCount.iteritems(), key=operator.itemgetter(1), reverse=True)
  17.     return sortedClassCount[0][0]

测试算法：使用海伦提供的部分数据作为测试样本。如果预测分类与实际类别不同，则标记为一个错误。

kNN 分类器针对约会网站的测试代码

  1. def datingClassTest():
  2.     """
  3.     Desc:
  4.         对约会网站的测试方法
  5.     parameters:
  6.         none
  7.     return:
  8.         错误数
  9.     """
  10.     # 设置测试数据的的一个比例（训练数据集比例=1-hoRatio）
  11.     hoRatio = 0.1  # 测试范围,一部分测试一部分作为样本
  12.     # 从文件中加载数据
  13.     datingDataMat, datingLabels = file2matrix('input/2.KNN/datingTestSet2.txt')  # load data setfrom file
  14.     # 归一化数据
  15.     normMat, ranges, minVals = autoNorm(datingDataMat)
  16.     # m 表示数据的行数，即矩阵的第一维
  17.     m = normMat.shape[0]
  18.     # 设置测试的样本数量， numTestVecs:m表示训练样本的数量
  19.     numTestVecs = int(m * hoRatio)
  20.     print 'numTestVecs=', numTestVecs
  21.     errorCount = 0.0
  22.     for i in range(numTestVecs):
  23.         # 对数据测试
  24.         classifierResult = classify0(normMat[i, :], normMat[numTestVecs:m, :], datingLabels[numTestVecs:m], 3)
  25.         print "the classifier came back with: %d, the real answer is: %d" % (classifierResult, datingLabels[i])
  26.         if (classifierResult != datingLabels[i]): errorCount += 1.0
  27.     print "the total error rate is: %f" % (errorCount / float(numTestVecs))
  28.     print errorCount

使用算法：产生简单的命令行程序，然后海伦可以输入一些特征数据以判断对方是否为自己喜欢的类型。

约会网站预测函数

  1. def classifyPerson():
  2.     resultList = ['not at all', 'in small doses', 'in large doses']
  3.     percentTats = float(raw_input("percentage of time spent playing video games ?"))
  4.     ffMiles = float(raw_input("frequent filer miles earned per year?"))
  5.     iceCream = float(raw_input("liters of ice cream consumed per year?"))
  6.     datingDataMat, datingLabels = file2matrix('datingTestSet2.txt')
  7.     normMat, ranges, minVals = autoNorm(datingDataMat)
  8.     inArr = array([ffMiles, percentTats, iceCream])
  9.     classifierResult = classify0((inArr-minVals)/ranges,normMat,datingLabels, 3)
  10.     print "You will probably like this person: ", resultList[classifierResult - 1]

实际运行效果如下: 

  1. >>> classifyPerson()
  2. percentage of time spent playing video games?10
  3. frequent flier miles earned per year?10000
  4. liters of ice cream consumed per year?0.5
  5. You will probably like this person: in small doses

项目案例2: 手写数字识别系统

完整代码地址: https://github.com/apachecn/MachineLearning/blob/master/src/py2.x/2.KNN/kNN.py

项目概述

构造一个能识别数字 0 到 9 的基于 KNN 分类器的手写数字识别系统。

需要识别的数字是存储在文本文件中的具有相同的色彩和大小：宽高是 32 像素 * 32 像素的黑白图像。

开发流程

  1. 收集数据：提供文本文件。
  2. 准备数据：编写函数 img2vector(), 将图像格式转换为分类器使用的向量格式
  3. 分析数据：在 Python 命令提示符中检查数据，确保它符合要求
  4. 训练算法：此步骤不适用于 KNN
  5. 测试算法：编写函数使用提供的部分数据集作为测试样本，测试样本与非测试样本的
  6.          区别在于测试样本是已经完成分类的数据，如果预测分类与实际类别不同，
  7.          则标记为一个错误
  8. 使用算法：本例没有完成此步骤，若你感兴趣可以构建完整的应用程序，从图像中提取
  9.          数字，并完成数字识别，美国的邮件分拣系统就是一个实际运行的类似系统

收集数据: 提供文本文件

目录 trainingDigits 中包含了大约 2000 个例子，每个例子内容如下图所示，每个数字大约有 200 个样本；目录 testDigits 中包含了大约 900 个测试数据。

手写数字数据集的例子

准备数据: 编写函数 img2vector(), 将图像文本数据转换为分类器使用的向量

将图像文本数据转换为向量

  1. def img2vector(filename):
  2.     returnVect = zeros((1,1024))
  3.     fr = open(filename)
  4.     for i in range(32):
  5.         lineStr = fr.readline()
  6.         for j in range(32):
  7.             returnVect[0,32*i+j] = int(lineStr[j])
  8.     return returnVect

分析数据：在 Python 命令提示符中检查数据，确保它符合要求

在 Python 命令行中输入下列命令测试 img2vector 函数，然后与文本编辑器打开的文件进行比较: 

  1. >>> testVector = kNN.img2vector('testDigits/0_13.txt')
  2. >>> testVector[0,0:32]
  3. array([0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 1., 1., 1., 1., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0.])
  4. >>> testVector[0,32:64]
  5. array([0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0.])

训练算法：此步骤不适用于 KNN

因为测试数据每一次都要与全量的训练数据进行比较，所以这个过程是没有必要的。

测试算法：编写函数使用提供的部分数据集作为测试样本，如果预测分类与实际类别不同，则标记为一个错误

  1. def handwritingClassTest():
  2.     # 1. 导入训练数据
  3.     hwLabels = []
  4.     trainingFileList = listdir('input/2.KNN/trainingDigits')  # load the training set
  5.     m = len(trainingFileList)
  6.     trainingMat = zeros((m, 1024))
  7.     # hwLabels存储0～9对应的index位置， trainingMat存放的每个位置对应的图片向量
  8.     for i in range(m):
  9.         fileNameStr = trainingFileList[i]
  10.         fileStr = fileNameStr.split('.')[0]  # take off .txt
  11.         classNumStr = int(fileStr.split('_')[0])
  12.         hwLabels.append(classNumStr)
  13.         # 将 32*32的矩阵->1*1024的矩阵
  14.         trainingMat[i, :] = img2vector('input/2.KNN/trainingDigits/%s' % fileNameStr)
  16.     # 2. 导入测试数据
  17.     testFileList = listdir('input/2.KNN/testDigits')  # iterate through the test set
  18.     errorCount = 0.0
  19.     mTest = len(testFileList)
  20.     for i in range(mTest):
  21.         fileNameStr = testFileList[i]
  22.         fileStr = fileNameStr.split('.')[0]  # take off .txt
  23.         classNumStr = int(fileStr.split('_')[0])
  24.         vectorUnderTest = img2vector('input/2.KNN/testDigits/%s' % fileNameStr)
  25.         classifierResult = classify0(vectorUnderTest, trainingMat, hwLabels, 3)
  26.         print "the classifier came back with: %d, the real answer is: %d" % (classifierResult, classNumStr)
  27.         if (classifierResult != classNumStr): errorCount += 1.0
  28.     print "\nthe total number of errors is: %d" % errorCount
  29.     print "\nthe total error rate is: %f" % (errorCount / float(mTest))

使用算法：本例没有完成此步骤，若你感兴趣可以构建完整的应用程序，从图像中提取数字，并完成数字识别，美国的邮件分拣系统就是一个实际运行的类似系统

KNN 小结

经过上面的介绍我们可以知道， k 近邻算法有 三个基本的要素：

  • k 值的选择

    • k 值的选择会对 k 近邻算法的结果产生重大的影响。
    • 如果选择较小的 k 值，就相当于用较小的邻域中的训练实例进行预测，“学习”的近似误差（approximation error）会减小，只有与输入实例较近的（相似的）训练实例才会对预测结果起作用。但缺点是“学习”的估计误差（estimation error）会增大，预测结果会对近邻的实例点非常敏感。如果邻近的实例点恰巧是噪声，预测就会出错。换句话说，k 值的减小就意味着整体模型变得复杂，容易发生过拟合。
    • 如果选择较大的 k 值，就相当于用较大的邻域中的训练实例进行预测。其优点是可以减少学习的估计误差。但缺点是学习的近似误差会增大。这时与输入实例较远的（不相似的）训练实例也会对预测起作用，使预测发生错误。 k 值的增大就意味着整体的模型变得简单。
    • 近似误差和估计误差，请看这里：https://www.zhihu.com/question/60793482
      • 近似误差越小，对本数据集的预测效果就越好，但是不保证其他数据集的预测效果
      • 估计误差越小，对世界上所有相类似的数据集总体预测效果越好，对本数据集的预测效果不一定越好

  • 距离度量

    • 特征空间中两个实例点的距离是两个实例点相似程度的反映。
    • k 近邻模型的特征空间一般是 n 维实数向量空间 向量空间 。使用的距离是欧氏距离，但也可以是其他距离，如更一般的 Lp距离 距离，或者 Minkowski 距离。

  • 分类决策规则

    • k 近邻算法中的分类决策规则往往是多数表决，即由输入实例的 k 个邻近的训练实例中的多数类决定输入实例的类。