第 10 章 K-Means（K-均值）聚类算法

K-Means 算法

聚类是一种无监督的学习, 它将相似的对象归到一个簇中, 将不相似对象归到不同簇中.
相似这一概念取决于所选择的相似度计算方法.
K-Means 是发现给定数据集的 K 个簇的聚类算法, 之所以称之为 K-均值 是因为它可以发现 K 个不同的簇, 且每个簇的中心采用簇中所含值的均值计算而成.
簇个数 K 是用户指定的, 每一个簇通过其质心（centroid）, 即簇中所有点的中心来描述.
聚类与分类算法的最大区别在于, 分类的目标类别已知, 而聚类的目标类别是未知的.

优点: 容易实现
缺点:可能收敛到局部最小值, 在大规模数据集上收敛较慢
使用数据类型 : 数值型数据

K-Means 场景

主要用来聚类, 但是类别是未知的.
例如: 对地图上的点进行聚类.

K-Means 术语

• 簇: 所有数据点点集合，簇中的对象是相似的。
• 质心: 簇中所有点的中心（计算所有点的均值而来）.
• SSE: Sum of Sqared Error（平方误差和）, SSE 值越小，表示越接近它们的质心. 由于对误差取了平方，因此更加注重那么远离中心的点.

有关 簇 和 质心 术语更形象的介绍, 请参考下图:

K-Means 工作流程

1. 首先, 随机确定 K 个初始点作为质心（不是数据中的点）.
2. 然后将数据集中的每个点分配到一个簇中, 具体来讲, 就是为每个点找到距其最近的质心, 并将其分配该质心所对应的簇. 这一步完成之后, 每个簇的质心更新为该簇所有点的平均值.

上述过程的 伪代码 如下:

• 创建 k 个点作为起始质心（通常是随机选择）
• 当任意一个点的簇分配结果发生改变时
  • 对数据集中的每个数据点
    • 对每个质心
      • 计算质心与数据点之间的距离
    • 将数据点分配到距其最近的簇
  • 对每一个簇, 计算簇中所有点的均值并将均值作为质心

K-Means 开发流程

收集数据：使用任意方法
准备数据：需要数值型数据类计算距离, 也可以将标称型数据映射为二值型数据再用于距离计算
分析数据：使用任意方法
训练算法：此步骤不适用于 K-Means 算法
测试算法：应用聚类算法、观察结果.可以使用量化的误差指标如误差平方和（后面会介绍）来评价算法的结果.
使用算法：可以用于所希望的任何应用.通常情况下, 簇质心可以代表整个簇的数据来做出决策.

K-Means 聚类算法函数

从文件加载数据集

# 从文本中构建矩阵，加载文本文件，然后处理
def loadDataSet(fileName):    # 通用函数，用来解析以 tab 键分隔的 floats（浮点数），例如: 1.658985    4.285136
    dataMat = []
    fr = open(fileName)
    for line in fr.readlines():
        curLine = line.strip().split('\t')
        fltLine = map(float,curLine)    # 映射所有的元素为 float（浮点数）类型
        dataMat.append(fltLine)
    return dataMat

计算两个向量的欧氏距离

# 计算两个向量的欧式距离（可根据场景选择）
def distEclud(vecA, vecB):
    return sqrt(sum(power(vecA - vecB, 2))) # la.norm(vecA-vecB)

构建一个包含 K 个随机质心的集合

# 为给定数据集构建一个包含 k 个随机质心的集合。随机质心必须要在整个数据集的边界之内，这可以通过找到数据集每一维的最小和最大值来完成。然后生成 0~1.0 之间的随机数并通过取值范围和最小值，以便确保随机点在数据的边界之内。
def randCent(dataSet, k):
    n = shape(dataSet)[1] # 列的数量
    centroids = mat(zeros((k,n))) # 创建k个质心矩阵
    for j in range(n): # 创建随机簇质心，并且在每一维的边界内
        minJ = min(dataSet[:,j])    # 最小值
        rangeJ = float(max(dataSet[:,j]) - minJ)    # 范围 = 最大值 - 最小值
        centroids[:,j] = mat(minJ + rangeJ * random.rand(k,1))    # 随机生成
    return centroids

K-Means 聚类算法

# k-means 聚类算法
# 该算法会创建k个质心，然后将每个点分配到最近的质心，再重新计算质心。
# 这个过程重复数次，直到数据点的簇分配结果不再改变位置。
# 运行结果（多次运行结果可能会不一样，可以试试，原因为随机质心的影响，但总的结果是对的， 因为数据足够相似，也可能会陷入局部最小值）
def kMeans(dataSet, k, distMeas=distEclud, createCent=randCent):
    m = shape(dataSet)[0]    # 行数
    clusterAssment = mat(zeros((m, 2)))    # 创建一个与 dataSet 行数一样，但是有两列的矩阵，用来保存簇分配结果
    centroids = createCent(dataSet, k)    # 创建质心，随机k个质心
    clusterChanged = True
    while clusterChanged:
        clusterChanged = False
        for i in range(m):    # 循环每一个数据点并分配到最近的质心中去
            minDist = inf; minIndex = -1
            for j in range(k):
                distJI = distMeas(centroids[j,:],dataSet[i,:])    # 计算数据点到质心的距离
                if distJI < minDist:    # 如果距离比 minDist（最小距离）还小，更新 minDist（最小距离）和最小质心的 index（索引）
                    minDist = distJI; minIndex = j
            if clusterAssment[i, 0] != minIndex:    # 簇分配结果改变
                clusterChanged = True    # 簇改变
                clusterAssment[i, :] = minIndex,minDist**2    # 更新簇分配结果为最小质心的 index（索引），minDist（最小距离）的平方
        print centroids
        for cent in range(k): # 更新质心
            ptsInClust = dataSet[nonzero(clusterAssment[:, 0].A==cent)[0]] # 获取该簇中的所有点
            centroids[cent,:] = mean(ptsInClust, axis=0) # 将质心修改为簇中所有点的平均值，mean 就是求平均值的
    return centroids, clusterAssment

测试函数

1. 测试一下以上的基础函数是否可以如预期运行, 请看: https://github.com/apachecn/MachineLearning/blob/master/src/py2.x/10.kmeans/kMeans.py
2. 测试一下 kMeans 函数是否可以如预期运行, 请看: https://github.com/apachecn/MachineLearning/blob/master/src/py2.x/10.kmeans/kMeans.py

参考运行结果如下:

在 kMeans 的函数测试中，可能偶尔会陷入局部最小值（局部最优的结果，但不是全局最优的结果）.

K-Means 聚类算法的缺陷

在 kMeans 的函数测试中，可能偶尔会陷入局部最小值（局部最优的结果，但不是全局最优的结果）.
局部最小值的的情况如下:

所以为了克服 KMeans 算法收敛于局部最小值的问题，有更厉害的大佬提出了另一个称之为二分K-均值（bisecting K-Means）的算法.

二分 K-Means 聚类算法

该算法首先将所有点作为一个簇，然后将该簇一分为二。
之后选择其中一个簇继续进行划分，选择哪一个簇进行划分取决于对其划分时候可以最大程度降低 SSE（平方和误差）的值。
上述基于 SSE 的划分过程不断重复，直到得到用户指定的簇数目为止。

二分 K-Means 聚类算法伪代码

• 将所有点看成一个簇
• 当簇数目小雨 k 时
• 对于每一个簇
  • 计算总误差
  • 在给定的簇上面进行 KMeans 聚类（k=2）
  • 计算将该簇一分为二之后的总误差
• 选择使得误差最小的那个簇进行划分操作

另一种做法是选择 SSE 最大的簇进行划分，直到簇数目达到用户指定的数目位置。
接下来主要介绍该做法。

二分 K-Means 聚类算法代码

# 二分 KMeans 聚类算法, 基于 kMeans 基础之上的优化，以避免陷入局部最小值
def biKMeans(dataSet, k, distMeas=distEclud):
    m = shape(dataSet)[0]
    clusterAssment = mat(zeros((m,2))) # 保存每个数据点的簇分配结果和平方误差
    centroid0 = mean(dataSet, axis=0).tolist()[0] # 质心初始化为所有数据点的均值
    centList =[centroid0] # 初始化只有 1 个质心的 list
    for j in range(m): # 计算所有数据点到初始质心的距离平方误差
        clusterAssment[j,1] = distMeas(mat(centroid0), dataSet[j,:])**2
    while (len(centList) < k): # 当质心数量小于 k 时
        lowestSSE = inf
        for i in range(len(centList)): # 对每一个质心
            ptsInCurrCluster = dataSet[nonzero(clusterAssment[:,0].A==i)[0],:] # 获取当前簇 i 下的所有数据点
            centroidMat, splitClustAss = kMeans(ptsInCurrCluster, 2, distMeas) # 将当前簇 i 进行二分 kMeans 处理
            sseSplit = sum(splitClustAss[:,1]) # 将二分 kMeans 结果中的平方和的距离进行求和
            sseNotSplit = sum(clusterAssment[nonzero(clusterAssment[:,0].A!=i)[0],1]) # 将未参与二分 kMeans 分配结果中的平方和的距离进行求和
            print "sseSplit, and notSplit: ",sseSplit,sseNotSplit
            if (sseSplit + sseNotSplit) < lowestSSE: # 总的（未拆分和已拆分）误差和越小，越相似，效果越优化，划分的结果更好（注意：这里的理解很重要，不明白的地方可以和我们一起讨论）
                bestCentToSplit = i
                bestNewCents = centroidMat
                bestClustAss = splitClustAss.copy()
                lowestSSE = sseSplit + sseNotSplit
        # 找出最好的簇分配结果    
        bestClustAss[nonzero(bestClustAss[:,0].A == 1)[0],0] = len(centList) # 调用二分 kMeans 的结果，默认簇是 0,1. 当然也可以改成其它的数字
        bestClustAss[nonzero(bestClustAss[:,0].A == 0)[0],0] = bestCentToSplit # 更新为最佳质心
        print 'the bestCentToSplit is: ',bestCentToSplit
        print 'the len of bestClustAss is: ', len(bestClustAss)
        # 更新质心列表
        centList[bestCentToSplit] = bestNewCents[0,:].tolist()[0] # 更新原质心 list 中的第 i 个质心为使用二分 kMeans 后 bestNewCents 的第一个质心
        centList.append(bestNewCents[1,:].tolist()[0]) # 添加 bestNewCents 的第二个质心
        clusterAssment[nonzero(clusterAssment[:,0].A == bestCentToSplit)[0],:]= bestClustAss # 重新分配最好簇下的数据（质心）以及SSE
    return mat(centList), clusterAssment

测试二分 KMeans 聚类算法

• 测试一下二分 KMeans 聚类算法，请看: https://github.com/apachecn/MachineLearning/blob/master/src/py2.x/10.kmeans/kMeans.py

上述函数可以运行多次，聚类会收敛到全局最小值，而原始的 kMeans() 函数偶尔会陷入局部最小值。
运行参考结果如下:

• 作者：那伊抹微笑
• GitHub地址: https://github.com/apachecn/MachineLearning
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