背景

不知道什么时候开始数独游戏风靡起来了，数独游戏由一个N*N的矩阵组成，N必须是一个可以被开根的数值，例如4,9,16,25等。

任意一个像素，必须在三个方向上保证值唯一。这三个方向分别是X,Y,BOX。XY很好理解就是纵横的一条线（X,Y的像素个数就是N）。BOX指这个像素所在的BOX（BOX是由 (N的平方根)*(N的平方根) 个像素组成的矩阵）。

如图，一个9*9个像素的数独。（我把基数称为3）

pic

1616的数独，16行，16列。同时分成44个BOX。（我把基数称为4）

那么如何生成一个有解的数独呢？

这个方法可行吗？

以下方法是按从左到右，从上到下的顺序来生成随机数的，看起来可行，实际上大多数情况下都无法生成有解数独，因为前面还比较容易满足条件，后面基本上就无法满足条件了。

  1. create or replace function gen_sudoku(  
  2.   dim int  -- 基数  
  3. ) returns int[] as $$  
  4. declare  
  5.   res int[];   
  6.   vloops int := 2 * (dim^5);  
  7.   vloop int :=0;  
  8.   ovloops int := 2 * (dim^5);  
  9.   ovloop int :=0;  
  10.   rand int;  
  11. begin  
  12.   -- 初始化矩阵  
  13.   select array( select (select array_agg(0) from generate_series(1,(dim^2)::int)) from generate_series(1,(dim^2)::int)) into res;  
  15.   loop  
  16.         -- 无法生成并返回  
  17.         if ovloop >= ovloops then  
  18.           raise notice '已循环%次，可能无法生成数独。', ovloop;  
  19.           return res;  
  20.         end if;  
  21.         ovloop := ovloop+1;  
  23.   <<outer>>  
  24.   for x in 1..dim^2 loop  
  25.     raise notice 'start again %', ovloop;  
  26.     for y in 1..dim^2 loop  
  27.       vloop := 0;  
  28.       loop  
  29.         -- 生成随机值  
  30.         rand := 1+(random()*((dim^2)-1))::int;  
  32.         -- 这轮循环无法生成并返回  
  33.         if vloop >= vloops then  
  34.           -- raise notice '1  %此数已循环%次，可能无法生成数独。', rand, vloop;  
  35.           -- return res;  
  36.           exit outer;  
  37.         end if;  
  38.         vloop := vloop+1;  
  40.         -- 横向验证  
  41.         perform 1 where array(select res[x][generate_series(1,(dim^2)::int)]) && array[rand];  
  42.         if found then  
  43.           --raise notice '2  %此数已循环%次，可能无法生成数独。%', rand, vloop, array(select res[x][generate_series(1,(dim^2)::int)]) ;  
  44.           continue;  
  45.         end if;  
  47.         -- 纵向验证  
  48.         perform 1 where array(select res[generate_series(1,(dim^2)::int)][y]) && array[rand];  
  49.         if found then  
  50.           --raise notice '3  %此数已循环%次，可能无法生成数独。%', rand, vloop, array(select res[generate_series(1,(dim^2)::int)][y]);  
  51.           continue;  
  52.         end if;  
  54.         -- BOX验证  
  55.         perform 1 where array(select res[xx][yy] from (select generate_series(((((x-1)/dim)::int)*dim)+1, ((((x-1)/dim)::int)*dim)+dim) xx) t1, (select generate_series(((((y-1)/dim)::int)*dim)+1, ((((y-1)/dim)::int)*dim)+dim) yy) t2) && array[rand];  
  56.         if found then  
  57.           --raise notice '4  %此数已循环%次，可能无法生成数独。%', rand, vloop, array(select res[xx][yy] from (select generate_series(((((x-1)/dim)::int)*dim)+1, ((((x-1)/dim)::int)*dim)+dim) xx) t1, (select generate_series(((((y-1)/dim)::int)*dim)+1, ((((y-1)/dim)::int)*dim)+dim) yy) t2);  
  58.           continue;  
  59.         end if;  
  61.         -- 通过验证  
  62.         res[x][y] := rand;  
  63.         raise notice 'res[%][%] %', x, y, rand;  
  64.         -- 跳出循环  
  65.         exit;  
  66.       end loop;  
  67.     end loop;  
  68.   end loop;  
  69.   end loop;  
  70.   return res;  
  71. end;  
  72. $$ language plpgsql strict;

以上方法最大的问题是，因为是左右，前后顺序在生成数独，实际上越到后面，会导致可以填充的满足XYB约束值越少，甚至没有。

为了尽可能的每次填充的值都有较大概率，可以在生成顺序上进行调整，不使用从左到右，从上到下的方法。

而是每一步都选择在XYB方向上还有最大概率（即最多没有填充的值）的像素。（我不清楚下围棋先占4个角，是不是也是同样的道理？）

如何找到每个像素在XYB维度上还有多少个未填充的值？

输入一个矩阵，得到另一个矩阵，表示当前位置在XYB轴的未填充值的个数。（非空值的xyb返回x,y,0,0,0）因为非空值不需要再填充它，所以无所谓。

1、首先要创建一个类型，包括数独矩阵的 X,Y坐标。以及这个坐标的横、竖、BOX三个方向上的剩余未填充值的个数。

  1. create type xyb as (  
  2.  ax int, -- 横坐标  
  3.  ay int, -- 纵坐标  
  4.  x int,  -- 横向还有多少未填充像素  
  5.  y int,  -- 竖向还有多少未填充像素  
  6.  b int   -- BOX内还有多少未填充像素  
  7. );

2、编写一个函数，用来计算一个为完成数独矩阵，其每一个像素的XYB值。

  1. create or replace function comp_xyb(  
  2.   int[],   -- 包含一些值的数独二维矩阵，当像素值为0时，表示这个值没有填充  
  3.   int      -- 数独的基数（比如2,3，。。。），3就是常见的9*9数独，4就是16*16数独。   
  4. )   
  5. returns xyb[]   -- 返回一个复合类型的数组矩阵，矩阵像素和输入矩阵一样，每个像素表示这个像素在XYB轴上还有多少个没有填充的值（没有填充的值用0表示）  
  6. as $$   
  7. declare  
  8.   dims int := ($2)^2;   -- 基数的平方，表示行、列、BOX的像素个数。也是每个方向上的矩阵标记上限  
  9.   res xyb[];            -- 结果  
  11.   vx int;  -- 横向还有多少未填充像素  
  12.   vy int;  -- 竖向还有多少未填充像素  
  13.   vb int;  -- BOX内还有多少未填充像素  
  15.   lx int;  -- box的X方向矩阵下标  
  16.   ux int;  -- box的X方向矩阵上标  
  17.   ly int;  -- box的Y方向矩阵下标  
  18.   uy int;  -- box的Y方向矩阵上标  
  19. begin  
  20.   -- 初始化矩阵  
  21.   select array (  
  22.     select array( select format('(%s,%s,0,0,0)', x, y) from generate_series(1,dims) t(y))   
  23.       from (select generate_series(1, dims) x) t   
  24.     )  
  25.   into res;   
  27.   -- X坐标  
  28.   for x in 1..dims loop  
  29.     -- Y坐标  
  30.     for y in 1..dims loop  
  32.       -- 如果这个像素的值不等于0，说明已经是一个已经填充过的像素，返回0,0,0  
  33.       if ($1)[x][y] <> 0 then  
  34.         -- 不计算已填充了非0值的像素  
  35.         continue;  
  36.       else  
  37.         -- x，计算X方向有多少个未填充的像素  
  38.         select sum(case arr when 0 then 1 else 0 end) from   
  39.           (select ($1)[x][generate_series(1, dims)] as arr) t   
  40.         into vx;  
  42.         -- y，计算Y方向有多少个未填充的像素  
  43.         select sum(case arr when 0 then 1 else 0 end) from   
  44.           (select ($1)[generate_series(1, dims)][y] as arr) t   
  45.         into vy;  
  47.         -- b，计算BOX内有多少个未填充的像素  
  48.         -- x下限  
  49.           lx := ((x-1)/$2)::int * $2 + 1;  
  50.         -- x上限  
  51.           ux := ((x-1)/$2)::int * $2 + $2;  
  52.         -- y下限  
  53.           ly := ((y-1)/$2)::int * $2 + 1;  
  54.         -- y上限  
  55.           uy := ((y-1)/$2)::int * $2 + $2;  
  56.         -- 计算BOX内有多少个未填充的像素  
  57.         select sum(case arr when 0 then 1 else 0 end) from   
  58.           (select ($1)[xx][yy] as arr from   
  59.             (select generate_series(lx,ux) xx) t1, (select generate_series(ly,uy) yy) t2  
  60.           ) t into vb;  
  62.         -- 将XYB的值，写入结果变量的对应像素中  
  63.         res[x][y] := format('(%s,%s,%s,%s,%s)',x,y,vx,vy,vb)::xyb;  
  64.       end if;  
  65.     end loop;  
  66.   end loop;  
  67.   return res;  
  68. end;  
  69. $$ language plpgsql strict immutable;

3、用法举例

计算以下2为基数，4*4的矩阵的xyb值

  1. {1,2,3,4}
  2. {0,1,1,0}
  3. {0,1,1,0}
  4. {0,1,1,0}
  1. postgres=# select array(select (comp_xyb('{ {1,2,3,4},{0,1,1,0},{0,1,1,0},{0,1,1,0} }', 2))[x][generate_series(1,4)]) from generate_series(1,4) t(x);
  2.                            array                             
  3. -----------------------------------------------------------  
  4.  {"(1,1,0,0,0)","(1,2,0,0,0)","(1,3,0,0,0)","(1,4,0,0,0)"}  
  5.  {"(2,1,2,3,1)","(2,2,0,0,0)","(2,3,0,0,0)","(2,4,2,3,1)"}  
  6.  {"(3,1,2,3,2)","(3,2,0,0,0)","(3,3,0,0,0)","(3,4,2,3,2)"}  
  7.  {"(4,1,2,3,2)","(4,2,0,0,0)","(4,3,0,0,0)","(4,4,2,3,2)"}  
  8. (4 rows)

使用unnest可以解开，按XYB三个方向总大小排序，再按某个方向最大排序，从而做到逐级收敛，真正每一次填充的像素，都是具备最大概率的像素。

  1. postgres=# select * from 
  2. unnest(
  3.   comp_xyb('{ {1,2,3,4},{0,1,1,0},{0,1,1,0},{0,1,1,0} }', 2)
  4. ) t 
  5. where 
  6.   t.x+t.y+t.b <> 0
  7. order by 
  8.   (t.x+t.y+t.b) desc, 
  9.   greatest(t.x,t.y,t.b) desc;  
  11.  ax | ay | x | y | b 
  12. ----+----+---+---+---
  13.   3 |  1 | 2 | 3 | 2
  14.   3 |  4 | 2 | 3 | 2
  15.   4 |  1 | 2 | 3 | 2
  16.   4 |  4 | 2 | 3 | 2
  17.   2 |  1 | 2 | 3 | 1
  18.   2 |  4 | 2 | 3 | 1
  19. (6 rows)

通过这个SQL得到了某个像素，这个像素的XYB方向上，还有最多的像素没有被填充。

因此这个像素如果生成一个随机值的话，违反数独的约束（或者叫冲突）的概率是最小的。

  1. postgres=# select * from 
  2. unnest(
  3.   comp_xyb('{ {1,2,3,4},{0,1,1,0},{0,1,1,0},{0,1,1,0} }', 2)
  4. ) t 
  5. where 
  6.   t.x+t.y+t.b <> 0
  7. order by 
  8.   (t.x+t.y+t.b) desc, 
  9.   greatest(t.x,t.y,t.b) desc 
  10. limit 1;  
  12.  ax | ay | x | y | b 
  13. ----+----+---+---+---
  14.   3 |  1 | 2 | 3 | 2
  15. (1 row)

用AX,ZY坐标值，往矩阵的这个像素填充符合数独条件的随机值，可以大幅提高构造可解数独的概率。

小结

本文先介绍如何得到这样的一个像素，填充一个值进行，这个值的取值区间应该是最大的（最不会与数独的游戏规则违背），从而更大可能的生成一个完整可解的数独。

下面一篇文章再介绍如何生成一个N*N的数独。

参考

http://poj.org/problem?id=3074

NP完全问题近似求解。

《PostgreSQL 生成任意基数数独 - 2》

《PostgreSQL 生成任意基数数独 - 3》

《PostgreSQL 生成任意基数数独 - 4》