Heap - 堆

一般情況下，堆通常指的是二叉堆，二叉堆是一個近似完全二元樹的數據結構，即披著二元樹羊皮的陣列，故使用陣列來實現較為便利。子結點的鍵值(key)或索引總是小於（或者大於）它的父節點，且每個節點的左右子樹又是一個二叉堆(大根堆(Max Heap)或者小根堆(Min Heap))。根節點最大的堆叫做最大堆或大根堆，根節點最小的堆叫做最小堆或小根堆。常被用作實現優先隊列(Priority Queue)。

特點

  1. 以陣列表示，但是以完全二元樹的方式理解。
  2. 唯一能夠同時最優地利用空間和時間的方法——最壞情況下也能保證使用 $$2N \log N$$ 次比較和恒定的額外空間。
  3. 在索引從0開始的陣列中：
    • 父節點 i 的左子節點在位置(2*i+1)
    • 父節點 i 的右子節點在位置(2*i+2)
    • 子節點 i 的父節點在位置floor((i-1)/2)

堆的基本操作

以大根堆為例，堆的常用操作如下。

  1. 最大堆調整（Max_Heapify）：將堆的末端子節點作調整，使得子節點永遠小於父節點
  2. 創建最大堆（Build_Max_Heap）：將堆所有數據重新排序
  3. 堆排序（HeapSort）：移除位在第一個數據的根節點，並做最大堆調整的遞迴運算

其中步驟1是給步驟2和3用的。

Heapsort-example

Python

  1. class MaxHeap:
  2.     def __init__(self, array=None):
  3.         if array:
  4.             self.heap = self._max_heapify(array)
  5.         else:
  6.             self.heap = []
  8.     def _sink(self, array, i):
  9.         # move node down the tree
  10.         left, right = 2 * i + 1, 2 * i + 2
  11.         max_index = i
  12.         if left < len(array) and array[left] > array[max_index]:
  13.             max_index = left
  14.         if right < len(array) and array[right] > array[max_index]:
  15.             max_index = right
  16.         if max_index != i:
  17.             array[i], array[max_index] = array[max_index], array[i]
  18.             self._sink(array, max_index)
  20.     def _swim(self, array, i):
  21.         # move node up the tree
  22.         if i == 0:
  23.             return
  24.         father = (i - 1) / 2
  25.         if array[father] < array[i]:
  26.             array[father], array[i] = array[i], array[father]
  27.             self._swim(array, father)
  29.     def _max_heapify(self, array):
  30.         for i in xrange(len(array) / 2, -1, -1):
  31.             self._sink(array, i)
  32.         return array
  34.     def push(self, item):
  35.         self.heap.append(item)
  36.         self._swim(self.heap, len(self.heap) - 1)
  38.     def pop(self):
  39.         self.heap[0], self.heap[-1] = self.heap[-1], self.heap[0]
  40.         item = self.heap.pop()
  41.         self._sink(self.heap, 0)
  42.         return item