Math

本小節總結一些與數學（尤其是數論部分）有關的基礎，主要總結了《挑戰程序設計競賽》(原文為《プログラミングコンテストチャレンジブック》)第二章。主要包含以下內容：

  1. Greatest Common Divisor(最大公因數)
  2. Prime(質數基礎理論)
  3. Modulus(取模運算)
  4. Fast Power(快速冪運算)

Modulus - 取模運算

有時計算結果可能會溢位，此時往往需要對結果取餘。如果有a % m = c % m 和 b % m = d % m, 那麼有以下模運算成立。

  • (a + b) % m = (c + d) % m
  • (a - b) % m = (c - d) % m
  • (a × b) % m = (c × d) % m

需要注意的是沒有除法運算，另外由於最終結果可能溢位，故需要使用更大範圍的類型來保存取模之前的結果。另外若a是負數時往往需要改寫爲 a % m + m, 這樣就保證結果在[0, m - 1]範圍內了。

Fast Power - 快速冪運算

快速冪運算的核心思想爲反覆平方法，將冪指數表示爲2的冪次的和，等價於二進制進行移位計算（不斷取冪的最低位），比如 x^{22} = x^{16} x^4 x^2.

C++

  1. long long fastModPow(lont long x, int n, long long mod) {
  2.     long long res = 1 % mod;
  3.     while(n > 0) {
  4.         //if lowest bit is 1, fast judge of even number
  5.         if((n & 1) != 0)
  6.             res = res * x % mod;
  7.         x = x * x % mod;
  8.         n >>= 1; 
  9.     }
  10.     return res;
  11. }

Java

  1. import java.util.*;
  3. public class FastPow {
  4.     public static long fastModPow(long x, long n, long mod) {
  5.         long res = 1 % mod;
  6.         while (n > 0) {
  7.             // if lowest bit is 1
  8.             if ((n & 1) != 0) res = res * x % mod;
  9.             x = x * x % mod;
  10.             n >>= 1;
  11.         }
  12.         return res;
  13.     }
  15.     public static void main(String[] args) {
  16.         if (args.length != 2 && args.length != 3) return;
  18.         long x = Long.parseLong(args[0]);
  19.         long n = Long.parseLong(args[1]);
  20.         long mod = Long.MAX_VALUE;
  21.         if (args.length == 3) {
  22.             mod = Long.parseLong(args[2]);
  23.         }
  24.         System.out.println(fastModPow(x, n, mod));
  25.     }
  26. }