Gray Code

描述

The gray code is a binary numeral system where two successive values differ in only one bit.

Given a non-negative integer n representing the total number of bits in the code, print the sequence of gray code. A gray code sequence must begin with 0.

For example, given n = 2, return [0,1,3,2]. Its gray code sequence is:

  1. 00 - 0
  2. 01 - 1
  3. 11 - 3
  4. 10 - 2

Note:

  • For a given n, a gray code sequence is not uniquely defined.
  • For example, [0,2,3,1] is also a valid gray code sequence according to the above definition.
  • For now, the judge is able to judge based on one instance of gray code sequence. Sorry about that.

    分析

格雷码(Gray Code)的定义请参考 http://en.wikipedia.org/wiki/Gray_code

自然二进制码转换为格雷码：g0=b0,gi=bi⊕bi−1g0=b_0, g_i=b_i \oplus b{i-1}

保留自然二进制码的最高位作为格雷码的最高位，格雷码次高位为二进制码的高位与次高位异或，其余各位与次高位的求法类似。例如，将自然二进制码1001，转换为格雷码的过程是：保留最高位；然后将第1位的1和第2位的0异或，得到1，作为格雷码的第2位；将第2位的0和第3位的0异或，得到0，作为格雷码的第3位；将第3位的0和第4位的1异或，得到1，作为格雷码的第4位，最终，格雷码为1101。

格雷码转换为自然二进制码：b0=g0,bi=gi⊕bi−1b0=g_0, b_i=g_i \oplus b{i-1}

保留格雷码的最高位作为自然二进制码的最高位，次高位为自然二进制高位与格雷码次高位异或，其余各位与次高位的求法类似。例如，将格雷码1000转换为自然二进制码的过程是：保留最高位1，作为自然二进制码的最高位；然后将自然二进制码的第1位1和格雷码的第2位0异或，得到1，作为自然二进制码的第2位；将自然二进制码的第2位1和格雷码的第3位0异或，得到1，作为自然二进制码的第3位；将自然二进制码的第3位1和格雷码的第4位0异或，得到1，作为自然二进制码的第4位，最终，自然二进制码为1111。

格雷码有数学公式，整数n的格雷码是n⊕(n/2)n \oplus (n/2)。

这题要求生成n比特的所有格雷码。

方法1，最简单的方法，利用数学公式，对从 0∼2n−10\sim2^n-1的所有整数，转化为格雷码。

方法2，n比特的格雷码，可以递归地从n-1比特的格雷码生成。如下图所示。

The first few steps of the reflect-and-prefix method.

Figure: The first few steps of the reflect-and-prefix method.

数学公式

  1. // Gray Code
  2. // 数学公式，时间复杂度O(2^n)，空间复杂度O(1)
  3. class Solution {
  4. public:
  5.     vector<int> grayCode(int n) {
  6.         const int size = 1 << n;  // 2^n
  7.         vector<int> result;
  8.         result.reserve(size);
  10.         for (int i = 0; i < size; ++i)
  11.             result.push_back(binary_to_gray(i));
  12.         return result;
  13.     }
  14. private:
  15.     static int binary_to_gray(int n) {
  16.         return n ^ (n >> 1);
  17.     }
  18. };

Reflect-and-prefix method

  1. // Gray Code
  2. // reflect-and-prefix method
  3. // 时间复杂度O(2^n)，空间复杂度O(1)
  4. class Solution {
  5. public:
  6.     vector<int> grayCode(int n) {
  7.         const int size = 1 << n;
  8.         vector<int> result;
  9.         result.reserve(size);
  11.         result.push_back(0);
  12.         for (int i = 0; i < n; i++) {
  13.             const int highest_bit = 1 << i;
  14.             for (int j = result.size() - 1; j >= 0; j--) // 要反着遍历，才能对称
  15.                 result.push_back(highest_bit | result[j]);
  16.         }
  17.         return result;
  18.     }
  19. };

原文: https://soulmachine.gitbooks.io/algorithm-essentials/content/cpp/bitwise-operations/gray-code.html