Dancing Links - 舞蹈链

Dancing Links - 舞蹈链

问题

集合 s = { x_1,x_2, \cdots ,x_n } 拥有 n 个成员，现在集合 s 有 m 个子集 { sub_1,sub_2, \cdots ,sub_m } 。在 m 个子集中选择一些组成集合 t = { sub_1,sub_2, \cdots } ，使 t 中包含的成员可以覆盖集合 s ，即 s 中所有成员都属于 t 中的某个或某些子集。

重复覆盖：集合 s 中的任意成员 \forall x \in t （允许同时属于两个以上的子集）。例如集合 s = { 0,1,2,3 } ，在子集 sub_1 = { 0,1 } 、 sub_2 = { 1,2 } 、 sub_3 = { 1,3 } 中选择 t = { sub_1,sub_2,sub_3 } 即可重复覆盖 s 。

精确覆盖：集合 s 中的任意成员 x 属于且只属于 t 中的一个子集，不能出现 x 不属于 t 中的任何子集，或者 x 同时属于 t 中两个以上的子集。例如集合 s = { 0,1,2,3 } ，在子集 sub_1 = { 0,1 } 、 sub_2 = { 1,2 } 、 sub_3 = { 2,3 } 中选择 t = { sub_1,sub_2 } 即可精确覆盖 s 。

给定集合 s 和 m 个子集，求其重复覆盖和精确覆盖。

重复覆盖解法：

遍历集合 s 中每个成员 x ，若其尚未被包含在 t 中，则在 m 个集合中寻找一个包含 x 的子集加入 t 中，重复该步骤即可获得重复覆盖。

精确覆盖解法：

对于每个元素 xj （ 1 \le j \le n ），所有包含它的子集都是一种可能的选择。对于包含元素 x_j 的所有子集 t_j = { sub{j-1},sub{j-2}, \cdots ,sub{j-p} } （共 p 个），依次尝试选择每个子集 sub{j-k} （ 1 \le k \le p ）作为潜在的精确覆盖。当选择子集 sub{j-k} 时，它除了 xj 之外还会包含其他元素，设其他元素的集合为 X_j ，那么所有其他包含 X_j 元素的子集，都与子集 sub{j-k} 冲突，因此这次选择后，需要将 sub_{j-k} 和所有与它冲突的集合都删除。

上图中，当为了元素 xj 选择子集 sub{j-k} 后，由于 sub{j-k} 也包含 x_1 、 x_n ，所以需要删除所有包含 x_1 、 x_n 元素的其他子集，即 sub_1 、 sub_2 。经过这次操作后，被覆盖的元素有 { x_1,x_j,x_n } ，被选中作为精确覆盖的子集为 sub{j-k} ，被删除的子集有 { sub1,sub_2,sub{j-k} } 。然后重复上述操作，继续考察下一个元素 x{j+1} ，直到覆盖所有元素，则找到一组精确覆盖；若所有子集都被删除掉时，却无法覆盖到所有元素，则说明最近的一次选择是错误的，这时我们就放弃子集 sub{j-k} ，并放弃之前的操作（被覆盖的元素中去掉 { x1,x_j,x_n } ，精确覆盖中去掉子集 sub{j-k} ，被删除的子集中去掉 { sub1,sub_2,sub{j-k} } ），然后考虑下一个包含 x_j 的子集。

求精确覆盖的算法称为X算法，将集合 s 中的 n 个成员看作列，将 m 个子集看作行，组成一个 m \times n 的矩阵 d 。若子集 sub_i （其中 1 \le i \le m ）包含某个成员 x_j （其中 1 \le j \le n ），则 d[i,j] = 1 ；若不包含则 d[i,j] = 0 。

例如对于集合 s = { 1,2,3,4,5,6,7 } ，它有 n = 7 个成员，还有 m = 6 个子集 sub_1 = { 1,3,5,6 } 、 sub_2 = { 1,4,7 } 、 sub_3 = { 2,6,7 } 、 sub_4 = { 2,3,6 } 、 sub_5 = { 4,5,7 } 、 sub_6 = { 5 } 的情况，如下图所示：

(1) 从 1 开始遍历集合 s 中每个成员，对于成员 1 ，遍历所有子集，找到第一个满足 d[i,1] = 1 的子集 sub_1 ，即 i = 1 时有 d[1,1] = 1 ，选择该子集作为精确覆盖中的一个子集 { sub_1 } ，已经覆盖的成员有 { 1,3,5,6 } ， sub_1 = { 1,3,5,6 } 中已经包含的成员其他子集不能再出现，因此删掉其他包含 { 1,3,5,6 } 的子集 sub_2 、 sub_4 、 sub_5 、 sub_6 、 sub_3 ，将 sub_1 也删掉；

(2) 这时矩阵 d 中所有子集都被删除，成为空矩阵，但并没有完全覆盖集合 s 中所有成员，因此 (1) 的选择是失败的，撤销 (1) 中的所有操作。继续从 1 开始遍历集合 s 中每个成员，对于成员 1 ，遍历所有子集，找到第二个满足 d[i,1] = 1 的子集 sub_2 ，即 i = 2 时有 d[2,1] = 1 ，选择该子集作为精确覆盖中的一个子集 { sub_2 } ，已经覆盖的成员有 { 1,4,7 } ， sub_2 = { 1,4,7 } 中已经包含的成员其他子集不能再出现，因此删掉其他包含 { 1,4,7 } 的子集 sub_1 、 sub_3 、 sub_5 ，将 sub_2 也删掉；

(3) 从 2 开始遍历集合 s 中剩下的成员，对于成员 2 ，遍历剩余子集，找到第一个满足 d[i,2] = 1 的子集 sub_4 ，即 i = 4 时有 d[4,2] = 1 ，选择该子集作为精确覆盖中的一个子集 { sub_2,sub_4 } ，已经覆盖的成员有 { 1,2,3,4,6,7 } ， sub_4 = { 2,3,6 } 中已经包含的成员其他子集不能再包含，因此删掉其他包含 { 2,3,6 } 的子集（没有找到），将 sub_4 也删掉；

(4) 从 5 开始遍历集合 s 中剩下的成员，对于成员 5 ，遍历剩余子集，找到第一个满足 d[i,5] = 1 的子集 sub_6 ，即 i = 6 时有 d[6,5] = 1 ，选择该子集作为精确覆盖中的一个子集 { sub_2,sub_4,sub_6 } ，已经覆盖的成员有 { 1,2,3,4,5,6,7 } ， sub_6 = { 5 } 中已经包含的成员其他子集不能再包含（没有找到），将 sub_6 删掉后矩阵 d 即为空矩阵，并且已经完全覆盖了子集 s 中的所有成员，则精确覆盖的结果为 { sub_2,sub_4,sub_6 } ，算法结束；

(5) 当算法进行到矩阵 d 为空矩阵，但集合 s 中所有成员并没有被完全覆盖的情况时，说明某一次的子集选择有错误，将该次选择的操作进行恢复，并寻找下一个覆盖要求的子集，继续尝试，直到找到精确覆盖；

回溯法的递归结束条件是矩阵 d 为空，每次递归时选择矩阵中的一列 x_j （其中 0 \le j \le n ），遍历矩阵 d 中的所有子集（行），找到一子集 sub_i （其中 0 \le i \le m ）满足 d[i,j] = 1 ，选择该子集（行）。由于精确覆盖的要求，其他包含该子集中任意成员的子集，都不能再选择，将其删掉，并将子集 sub_i 也删掉。重复这个操作直到将矩阵 d 删空，检查矩阵 d 为空时是否集合 s 的所有成员都被覆盖到。在选取包含某个成员 x_j 的子集时，可能有多个选择，若选择其中一个子集无法最终将集合 s 完全覆盖，则在递归函数中返回这一层，尝试其他子集，直到找出精确覆盖。

十字链表是一种方便删除矩阵(d)中的行列、以及恢复行列的数据结构。每个节点有上下左右(4)个指针指向周围的节点。现在将上文的集合(s = { 1,2,3,4,5,6,7 })、(6)个子集以及(5)个步骤，用十字链表的形式重复一遍。建立十字链表时需要额外对每一列添加头节点，并添加一个总的(head)节点连接所有列的头节点，如图所示：

(1) 选取 head 节点右边的节点 1 （第 1 列），在第 1 列中从上到下依次考虑每个子集，看是否最终可以得到精确覆盖，第 1 列有(2)个选择(sub_1)、(sub_2)，首先尝试选择(sub_1)。根据上文可知，目标是将包含(sub_1)成员({ 1,3,5,6 })的所有子集都删除掉，即删除(sub_1)、(sub_2)、(sub_4)、(sub_5)、(sub_6)、(sub_3)。在十字链表中这个过程分为以下几个步骤来依次进行；

(2) 将 sub_1 的所有成员 [1,1] 、 [1,3] 、 [1,5] 、 [1,6] 首先删除；