集合划分：

集合(X)的划分是(X)的非空子集的集合，使得每一个(X)的元素都只包含在这些子集的其中一个内。

等价的说，集合(P)是(X)的划分，如果：

((1))(P)的元素都是(X)的子集，且不是空集；

((2))(P)的元素的并集等于(X)；

((3))(P)的任意两个元素的交集为空集；

集合(P)中的元素也称为(X)的一个部分。例如(X = {1,2,3,4,5,6})的一个划分是(P = { {1 },{2,6},{3,4},{5}})，而({1}),({2,6}),({3,4}),({5})都是(X)的一个部分。

加法原理：

集合(X)的元素数量等于(X)的所有部分的元素数量之和，即(\mid X \mid = \mid X1 \mid + \mid X_2 \mid + \cdots + \mid X_n \mid )。

乘法原理：

若集合(X)中的所有元素都是由两个数字组成的序列，即序偶((a,b))。其中第一个元素(a)来自拥有(p)个元素的集合(A)，第二个元素(b)来自拥有(q)个元素的集合(B)。则集合(X)的元素数量为(\mid X \mid = p \times q)。

减法原理：

设集合(Y)包含集合(X)，集合(X)在(Y)中的补集为(X’)，则( \mid X \mid = \mid Y \mid - \mid X’ \mid )。

除法原理：

集合(X)被划分为(p)个部分，每个部分的元素数量都为(q)，则( \mid X \mid = p \times q)。

阶乘：
[
n! =
\begin{cases}
1 & n = 0 \
1 \times 2 \times 3 \times \cdots \times n & \forall n \gt 0
\end{cases}
]

也可以写作：

[
n! =
\begin{cases}
1 & n = 0 \
\prod{k = 1}^n k & \forall n \gt 0
\end{cases}
]

阶乘的递归定义为：

[
n! =
\begin{cases}
1 & n = 0 \
(n-1)! \times n & \forall n \gt 0
\end{cases}
]


组合：

在拥有(n)个不同元素（没有两两相同的元素）的集合(A)中，任意选出(m)个元素（(m \leq n)，(m)和(n)都是自然数，即正整数）组成另一个集合(B)，称(B)为(A)的一个子集。集合没有顺序的概念，对于集合(A)中的任意元素（( \forall x \in A)），都有(x \in B)，同时集合(B)中的任意元素（( \forall y \in B)），都有(y \in A)，则集合(A)和(B)是相同的。比如集合(s_1 = {1,2,3})、(s_2 = {3,2,1})是相同的两个集合。

从(n)个元素的集合中任意取出(m)个元素能够组成的不同集合的数量为：

[
C_m^n =
\bigl(
\begin{smallmatrix}
n \
m
\end{smallmatrix}
\bigr)
= \frac{(P_m^n)}{m!} = \frac{n!}{m! \cdot (n-m)!}
]

在二项式定理（https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_coefficient）中，二项式幂\((1+x)^n\)的多项式展开中\(x^k\)（其中\(k \in [0,n])）的系数即为(\bigl( \begin{smallmatrix} n \ k \end{smallmatrix}\bigr))，等同于组合学中从(n)个元素中选出(k)个元素组成集合的所有组合数量。

例如对于((x+1)^2 = 1x^0 + 2x^1 + x^2)，从(2)个元素中选取(1)个的组合数量为(2)；选取(2)个的组合数量为(1)。

对于((x+1)^3 = 1x^0 + 3x^1 + 3x^2 + x^3)，从(3)个元素中选取(1)个的组合数量为(3)；选取(2)个的组合数量为(3)；选取(3)个的组合数量为(1)。

排列：

从(n)个不同的元素（没有两两相同的元素）中任意取(m)个元素（(m \leq n)，(m)和(n)都是自然数，即正整数）排成一列，得到排列(s)。排列(s_1 = [1,2,3])、(s_2 = [3,2,1])、(s_3 = [2,3])两两各不相同，只有当两个排列长度相同，且相同位置的元素也相同时，才称这两个排列相同。

从(n)个元素中任意取出(m)个元素组成的所有排列的数量为：

[
P_m^n = \frac{n!}{(n-m)!}
]

也写作：(A_m^n = \frac{n!}{(n-m)!} )，维基百科中特别提到中国大陆教材中写做(A_n^m)。特别的当(m = n)时，(P_m^n)称为全排列，(P_m^n = 1 \times 2 \times 3 \times \cdots \times n = n!)。