LargeNumber - 大数字

问题

计算两个数字 a 和 b 的加减乘除，这些数字非常大，无法用编程语言中内置的 int64 、 float64 等类型来存储。

解法

对每个数字设置符号、整数区、小数区三个部分，模拟小学数学中的加减乘除运算过程，得到结果。

取反

如果 a \eq 0 ， a 的负值为它自己，如果 a \ne 0 ， a 的负值为 -a 。

加法

数字 a + b ，有两种情况：

(1) 相同符号：可以把数字部分直接进行相加；

(2) 不同符号：比如 12 + (-4) ，可以转化为减法 12 - 4 来计算，因此只需要考虑符号相同的两个数字相加；

对于 a + b = c ，从低位开始依次计算：

$$

c[i] = ( c[i] + a[i] + b[i] ) % 10 \
c[i+1] = c[i+1] + ( c[i] + a[i] + b[i] ) / 10

$$

下面演示 -125.39 + (-91.70935) = -217.09935 ：

(1) 最后四个小数位相加没有进位，可以直接相加，得 9935 ；

(2) 十分位（小数点后第一位） 3 + 7 进 1 位，得 0 ；

(3) 个位 5 + 1 + 1 （包含进位 1 ），得 7 ；

(4) 十位 2 + 9 进 1 位，得 1 ；

(5) 百位 1 + 0 + 1 （包含进位 1 ），得 2 。两个数字的千位都为 0 ，且没有进位，算法结束；

减法

数字 a - b ，有两种情况：

(1) a 和 b 正负不同：比如 12 - (-4) 和 -12 - 4，可以转化为加法 12 + 4 和 -12 + (-4) 来计算；

(2) a 和 b 正负相同且 a \lt b ：比如 1 - 14 可以转化为 -(14 - 1) ；

(3) a 和 b 正负相同且 a \ge b ：直接计算 a - b ；

对于 a - b = c （其中 a \ge b ），从高位开始依次计算：

$$

c[i] =
\begin{cases}
a[i] - b[i] & a[i] \ge b[i] \
a[i] + 10 - b[i], c[i+1] = c[i+1] - 1 & a[i] \lt b[i]
\end{cases}

$$

下面演示 125.39 - 91.70935 = 33.68065 ：

(1) 百位 1 - 0 ，得 1 ；

(2) 十位 2 \lt 9 ，从百位借 1 有 10 + 2 - 9 得 3 ，百位变为 0 ；

(3) 个位 5 \ge 1 ，得 4 ；

(4) 十分位 3 \lt 7 ，从个位借 1 有 3 + 10 - 7 得 6 ，个位变为 3 ；

(5) 百分位 9 - 0 得 9 ；

(5) 千分位 0 \lt 9 ，从百分位借 1 有 10 + 0 - 9 得 1 ，百分位变为 8 ；

(5) 万分位 0 \lt 3 ，从千分位借 1 有 10 + 0 - 3 得 7 ，千分位变为 0 ；

(5) 亿分位 0 \lt 5 ，从万分位借 1 有 10 + 0 - 5 得 5 ，万分位变为 6 ；

乘法

数字 a \times b ，把数字部分直接进行相乘，最终正负相同则结果为正，正负不同则结果为负。

对于 a \times b = c ，从低位开始依次计算：

$$

c[i] = ( c[i] + a[i] \times b[i] ) % 10 \
c[i+1] = c[i+1] + ( c[i] + a[i] \times b[i] ) / 10

$$

演示 -125.39 * 91.70935 = -11499.4353965 我们会在后面补上

除法

数字 a \div b ，除法的模拟有些麻烦，我们会在后面补上

源码

import, lang:”c_cpp”

测试

import, lang:”c_cpp”