3.1 线性回归

线性回归问题就是试图学到一个线性模型尽可能准确地预测新样本的输出值，例如：通过历年的人口数据预测2017年人口数量。在这类问题中，往往我们会先得到一系列的有标记数据，例如：2000—>13亿…2016—>15亿，这时输入的属性只有一个，即年份；也有输入多属性的情形，假设我们预测一个人的收入，这时输入的属性值就不止一个了，例如：（学历，年龄，性别，颜值，身高，体重）—>15k。

有时这些输入的属性值并不能直接被我们的学习模型所用，需要进行相应的处理，对于连续值的属性，一般都可以被学习器所用，有时会根据具体的情形作相应的预处理，例如：归一化等；对于离散值的属性，可作下面的处理：

  • 若属性值之间存在“序关系”，则可以将其转化为连续值，例如：身高属性分为“高”“中等”“矮”，可转化为数值：{1， 0.5， 0}。

  • 若属性值之间不存在“序关系”，则通常将其转化为向量的形式，例如：性别属性分为“男”“女”，可转化为二维向量：{（1，0），（0，1）}。

（1）当输入属性只有一个的时候，就是最简单的情形，也就是我们高中时最熟悉的“最小二乘法”（Euclidean distance），首先计算出每个样本预测值与真实值之间的误差并求和，通过最小化均方误差MSE，使用求偏导等于零的方法计算出拟合直线y=wx+b的两个参数w和b，计算过程如下图所示：

2.png

（2）当输入属性有多个的时候，例如对于一个样本有d个属性{（x1,x2…xd）,y}，则y=wx+b需要写成：

0.png

通常对于多元问题，常常使用矩阵的形式来表示数据。在本问题中，将具有m个样本的数据集表示成矩阵X，将系数w与b合并成一个列向量，这样每个样本的预测值以及所有样本的均方误差最小化就可以写成下面的形式：

3.png

4.png

5.png

同样地，我们使用最小二乘法对w和b进行估计，令均方误差的求导等于0，需要注意的是，当一个矩阵的行列式不等于0时，我们才可能对其求逆，因此对于下式，我们需要考虑矩阵（X的转置*X）的行列式是否为0，若不为0，则可以求出其解，若为0，则需要使用其它的方法进行计算，书中提到了引入正则化，此处不进行深入。

6.png

另一方面，有时像上面这种原始的线性回归可能并不能满足需求，例如：y值并不是线性变化，而是在指数尺度上变化。这时我们可以采用线性模型来逼近y的衍生物，例如lny，这时衍生的线性模型如下所示，实际上就是相当于将指数曲线投影在一条直线上，如下图所示：

7.png

更一般地，考虑所有y的衍生物的情形，就得到了“广义的线性模型”（generalized linear model），其中，g（*）称为联系函数（link function）。

8.png